第2讲-两直线的位置关系

考点突破考点一：两直线的平行与垂直考点二：两直线相交及距离公式的应用考点三：对称问题课堂小结第2讲两直线的位置关系夯基释疑思想方法易错防范概要基础诊断第2页结束放映返回目录夯基释疑1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()第3页结束放映返回目录解(1)法一由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．考点一两直线的平行与垂直考点突破即a＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k2≠0.即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.第4页结束放映返回目录法二由于l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0.即b＝a2－a.①又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．考点一两直线的平行与垂直考点突破联立①②可得a＝2，b＝2.经验证，符合题意．故a＝2，b＝2.第5页结束放映返回目录又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．考点一两直线的平行与垂直考点突破k1＝k2，即ab＝1－a.③即4b＝b，④(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，联立③④，解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.∴a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.第6页结束放映返回目录(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．规律方法考点突破考点一两直线的平行与垂直第7页结束放映返回目录考点突破解(1)法一当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.【训练1】已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.考点一两直线的平行与垂直当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.第8页结束放映返回目录考点突破法二由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，【训练1】已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.考点一两直线的平行与垂直所以sinα＝±22，所以α＝kπ±π4，k∈Z.故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.第9页结束放映返回目录即4x＋3y－6＝0.法二设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.【例2】(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．(2)直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．考点二两直线相交及距离公式的应用考点突破解(1)法一解方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0得P(0，2)．因为l3的斜率为34，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－43，由斜截式可知l的方程为y＝－43x＋2，第10页结束放映返回目录(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在．∵直线l过点P(2，－5)，∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0.【例2】(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．(2)直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．考点二两直线相交及距离公式的应用考点突破∴点A(3，－2)到直线l的距离d1＝|3k－（－2）－2k－5|k2＋1＝|k－3|k2＋1，第11页结束放映返回目录∵d1∶d2＝1∶2，【例2】(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．(2)直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．考点二两直线相交及距离公式的应用考点突破∴|k－3||3k＋11|＝12，∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.点B(－1，6)到直线l的距离d2＝|－k－6－2k－5|k2＋1＝|3k＋11|k2＋1.第12页结束放映返回目录(1)常见的三大直线系方程：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.(2)运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．规律方法考点突破考点二两直线相交及距离公式的应用第13页结束放映返回目录【训练2】(1)如图，设一直线过点(－1，1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，则其方程为________．(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．解析(1)与l1，l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1，1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.考点突破解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.考点二两直线相交及距离公式的应用第14页结束放映返回目录【训练2】(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.考点突破由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，考点二两直线相交及距离公式的应用∴k＝－13.∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.第15页结束放映返回目录【训练2】(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．考点突破法二当AB∥l时，有k＝kAB＝－13，考点二两直线相交及距离公式的应用即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4)．∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.答案(1)2x＋7y－5＝0(2)x＋3y－5＝0或x＝－1直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，第16页结束放映返回目录【例3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．考点三对称问题考点突破解(1)设A′(x，y)，再由已知y＋2x＋1·23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413，∴A′－3313，413.第17页结束放映返回目录(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，【例3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．考点三对称问题考点突破则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，解得M′613，3013.则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4，3)．设m与l的交点为N，又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.第18页结束放映返回目录(3)法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.【例3】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．考点三对称问题考点突破第19页结束放映返回目录(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题．(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线