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4.2.1变式教学一、变式教学的分类和教学含义1.从中国人数学学习悖论说开去（1）中国学习者的数学学习环境存在许多缺陷：教学方式:典型的“被动灌输”和“机械训练”单一讲授的上课方式，教师灌输,学生被动接受；班级规模：一般超过40人，多至50人以上；考核方式：低认知水平的频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重负担；（2）从学生学业评价的角度来看，中国中小学教学具有明显的优势海外的中国学生一般取得比其实际智商预期更好的成就:IEA的数据表明:IMO，中国队一贯名列前茅;Stevenson（1992）在《学习的差距》中揭示，美国学生的学习成绩明显低于中国甚至东亚学生，从1到11年级，这种差异明显存在;PISA(ProgramforInternationalStudentAsse-ssment）中，中国学生阅读、数学、科学三个项目名列前茅。2.变式教学的分类和教学含义所谓“变式”就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理转化。即不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件和结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境。但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。即在教学中用不同的形式的直观材料或者事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质属性以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，……，从而形成科学概念。-------顾明远《教育大辞典》1999例如：“相交弦定理”的变式训练——图1图2圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的长的积相等。（图1）变式1：改变交点的位置，结论不变。特别当P为一条弦的中点时……图3变式2：当两条弦相交于圆上时如图PA=PC=0,结论不变。图4图5变式5：图5中PD绕点P旋转与圆相切，则D(C)重合，结论成立，且PA-=PC——切线长定理图6变式4：图5中，当PAA绕P点旋转至与圆相切时，此时A（B）重合，结论不变——切割线定理变式3：当两弦的交点在圆外时，P可作为两弦的外分点，结论成立——割线定理启示：P在圆内、上、外有统一的结论。充分展示了定理间的内联系，旧知识（固着点）与新知识之间现实了实质性的联系（非人为的）。培养学生变化运动的观点和发散思维。顾泠沅认为教学中存在两种变式：“概念性变式”和“过程性变式”。（1）传统意义上的概念性变式主要包括以下两类：一类是改变概念的外延,称为概念变式；一类是改变一些能混淆概念外延的属性,比如举反例,称为非概念变式。这两种变式构成“概念性变式”,目的是让学生获得对概念的多角度理解。◎通过直观或具体的变式引入概念数学——具体直观的经验,使学生能够建立起抽象概念和感性经验之间的联系。例如：“两条直线异面”概念的教学学习该概念的难点：概念的定义比较抽象，学生不易理解；异面直线属于三维图像,用平面直观图去表示会造成视觉上的失真,因此概念的对象(即外延)就难以鉴别。为了突破难点,教师通常会借助变式，从学生把已有的感性经验出发，帮助理解概念图形的基本特征,进而把上升为抽象水平,握概念的外延空。图7通过直观材组织已有的感性经验,使学生理解概念的具体含义；图8（1）图8（2）在概念引入时具体或直观的变式是帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系。而数学概念的本质是抽象的,因此,教学中尽可能地摆脱具体或直观的背景,使概念上升到抽象的水平。利用图形变式作为直观材料和抽象概念之间的过渡。◎通过非标准形式突出概念的本质属性数学概念包含清晰的外延,掌握一个概念就意味着能够分辨一个对象是否属于概念的外延集合。教概念的一种有效途径就是通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。在概念的外延集合中,从逻辑的角度看,每个对象都是等价的,其实有些对象具有特殊地位。比如,一些对象,由于受到感性经验的影响,或者在引入概念时先人为主,进而成为某种相关概念的标准形式。反例变式是非概念图形变式的常用方法：如与半径垂直的直线是圆的切线吗？对角线互相垂直的四边形一定是菱形吗?图9非概念图形变式标准形式非标准形式图9几何概念的标准和非标准图形变式标准形式虽有利于学生对概念的准确把握,但也容易限制思维的灵活性,甚至不恰当地缩小概念的外延。解决这个问题的一种有效方法是充分利用非标准形式,通过变换概念的非本质属性,突出其本质属性。◎非概念变式概念的内涵和外延是对立统一的。内涵明确则外延清晰,反之亦然。概念的教学需明晰概念的内涵,并对概念的外延集合有一个清晰的界定。图10概念之间的关系不同概念之间的关系如图，B是A的上位概念，C是A的下位概念,A和D是相交关系,A和E则是矛盾的。要明确概念的外延就必须划清概念与其周边概念之间的界限。(2)过程性变式——数学活动的有层次推进数学教学包括：教陈述性知识(即概念)和教程序性知识(即过程)。由于程序性知识(问题解决和元认知策略)是动态的,采用静止的概念性变式不能促进其学习过程。因此,顾泠沅提出了“过程性变式”,推广了变式的概念来解决程序性知识的教学。数学活动过程的基本特征是层次性,它包含为解决问题而采用的一系列不同步骤和策略。采用过程性变式,学生能够解决问题,并形成不同概念之间的层次关系或获得多种方法。◎促进概念的形成若概念是通过一系列过程的发展而形成的，此时对过程的理解也是掌握概念的重要方面。为了掌握概念,允许学生体验概念的形成过程,尤其是引入新概念时。例如“方程”概念的教学难点：“平衡”的思想；未知数的含义。概念变式阶段：识记方程的定义，给出正、反例。过程变式阶段：铺垫一:用具体的事物表示未知量比如,“小明花了两元钱买了三块橡皮,结果找给他两角钱。问:每块橡皮多少钱?”这个问题如何表示？2元-（）=2角2元-3（）=2角…….（1）铺垫二:用简记符号表示未知量2元—3x=2角……（2）20—3x=2……….（3）三种表达式反映了代数符号系统发展的三个阶段：象形代数——简写代数——符号代数。此过程让学生体验到用符号代替具体数字的简洁性,同时也建立了“方程”概念的具体模型。但是在这个阶段,对未知量的理解仍然停留在具体对象上。为了发展关于x的抽象概念,设置下述铺垫。铺垫三:用符号“□”替换x,20-3□=2………..(4)(3)是(4)的一个特例.“口”可以代表任何数字.概念性变式的目的是提供逐步形成概念的过程,而过程性变式是为了从多种角度来理解某一概念。◎问题解决的铺垫——化归路径在未解决问和解决了的简单问题之间没有清晰的联系,因此需要为这种转化设置路径：图11解决问题的变式在变式问题的丰富性以及化归策略的多样性上。◎构建数学经验体系每个数学活动都包含一个或一系列过程性变式，这些变式包括化归或探索的步骤和策略。构建特定经验系统的变式(即过程能力)来自问题解决的三个维度：改变某一问题：改变初始问题成为一个铺垫,或者通过改变条件、改变结论和推广结论来拓展初始问题；同一个问题的不同解决过程作为变式,形成一个问题的多种解决方法；同一方解决多种问题,将某种特定的方法用于解决一类相似的问题。结论：在概念形成的过程中,过程性变式反映了概念形成的逻辑过程、历史过程和心理过程，从而使学生的学习可循序渐进地进行。在问题解决的过程中,过程性变式既可表现为一系列用于铺垫的命题或概念,也可表现为某种活动的策略和经验,从而使学生的问题解决活动具有多个层次或者多种途径。在形成认结构的过程中,过程性变式创造了一个多层次的经验和策略系统;片断的、零散的经验活动就构成一个有机整体。图12变式教学的分类已有知识新的知识建立联系合理实质奥苏贝尔：知识固着点的性质如何判断学生是否真正建立了新旧知识的本质联系呢？——换一个形式检验铺垫是成功的奥秘是有效手段3.变式教学理论解释——有意义学习数学命题学习案例：等腰三角形的判定二、过程性变式的数学课例研究（1）选题背景在数学教学中，学生要学习大量的性质定理、判定定理和公式等。以往的数学学习常常是老师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练。学生感到枯燥乏味。如何激发学生提出和论证命题的兴趣、如何让从简单到复杂的变式练习成为学生解题能力的练兵场，是日常数学教学中值得关注的问题“（数学）早已广泛被人们承认为科学、工艺、商业和晋升各种专业的基础工具。这种目标会导致成人热衷于数学；但对于初步接触数学的幼龄学生，却是遥不可及。”（斯根普1971）（2）模式化的定理教学•复习性质定理、给出判定命题•师生进行思路分析•通过论证得出定理•应用定理做练习等腰三角形的两个底角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形写成已知求证的形式：已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=ACACB（3）用情境问题引发兴趣•如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？学生的三种“补出”方法：只剩一个底角和一条底边①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明③“对折”（4）多种证法激活创造力•三种常规的办法：两种创造性的证法：①作∠A的平分线，利用“角角边”②过A作BC边的垂线，利用“角角边”③作BC边上的中线，“边边角”④假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”ACB（5）用变式练习分步解决问题•不断变换题目的条件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么结论？过O作直线EF∥BC。①图中有几个等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题)若∠B与∠C不相等。①图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论)直观看到一个，简单应用判定定理须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。（6）变式教学效果的试验研究一位专家曾提出质疑，上述最后一题是“总复习”中的难题，在“等腰三角形的判定”第一节课中作为练习，是否超越了学生的学习能力？事实上，运用变式作铺垫，可以明显提高练习的效率。后来专家们在普通学生的班中做了试验，同样取得很好效果。我们曾对利用变式图形提高几何教学效果的经验，开展重复试验或轮换试验，结果差别具有显著或极其显著意义。