椭圆的定义习题

第1页共4页第二章2.22.2.2第一课时一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A．x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C．x212＋y28＝1D．x212＋y24＝1解析：选A由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝43，∴a＝3．又∵e＝33，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为x23＋y22＝1．3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆y221＋x29＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9解析：选D因为椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x第2页共4页轴，直线AB交y轴于点P.若AP―→＝2PB―→，则椭圆的离心率是()A．32B．22C．13D．12解析：选D∵AP―→＝2PB―→，∴|AP―→|＝2|PB―→|．又∵PO∥BF，∴|PA||AB|＝|AO||AF|＝23，即aa＋c＝23，∴e＝ca＝12．5．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A．22B．33C．12D．13解析：选B法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±b2a，故|PF1|＝b2a．在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2b2a.根据椭圆定义得3b2a＝2a，从而可得e＝ca＝33．法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝233c，|PF2|＝433c．所以|PF1|＋|PF2|＝23c＝2a，离心率e＝ca＝33．二、填空题6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是__________________________．解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，因此可设待求椭圆为x2m＋y2m＋5＝1．又因为b＝25，故m＝20，得x220＋y225＝1．答案：x220＋y225＝17．椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，则m＝________．第3页共4页解析：当焦点在x轴上时，4－m2＝12⇒m＝3；当焦点在y轴上时，m－4m＝12⇒m＝163．综上，m＝3或m＝163．答案：3或1638．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e＝ca＝55，∴c2a2＝a2－b2a2＝15，∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2．设椭圆的标准方程为x2a2＋5y24a2＝1(a＞0)．∵椭圆过点P(－5,4)，∴25a2＋5×164a2＝1，解得a2＝45.∴椭圆的方程为x245＋y236＝1．答案：x245＋y236＝1三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．解：设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由e＝22知ca＝22，故c2a2＝12，从而a2－b2a2＝12，b2a2＝12．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，所以b2＝8.故椭圆C的标准方程为x216＋y28＝1．10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．第4页共4页解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：x－a22＋y2＝a22，∴y2＝ax－x2.①又∵P点在椭圆上，∴x2a2＋y2b2＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0.∵x≠a，x≠0，∴x＝ab2a2－b2，又0＜x＜a，∴0＜ab2a2－b2＜a，即2b2＜a2．由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，∴e＞22．又∵0＜e＜1，∴22＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围是22，1．