上海昂立智立方数学高中-高一(秋季班)-高数—10秋—03—命题和充要条件—贾德淼-教师版

1/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号课型复习课题命题和充要条件教学目标1、理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；2、理解四种命题及其相互关系；3、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；4、理解子集与推出关系。教学重点1、熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化；2、熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论；3、理解充分条件、必要条件、充要条件之间的关系，并会证明。教学安排版块时长1例题解析802巩固训练303师生总结104课后练习302/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。3、一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作。相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作。4、如果，并且，那么就说与等价，记作。二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。3、命题、的否定分别记作、。4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。5、四种命题形式及其相互关系:命题和充要条件知识梳理3/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）6、常见结论的否定形式：（拓展内容）原结论否定形式原结论否定形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有n个至多有n-1个小于大于或等于至多有n个至少有n+1个对所有的x成立存在x不成立p或q非p且非q对任何的x不成立存在x成立p且q非p或非q三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。2、充要条件：如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。4/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220xx；⑷260x；⑸112；【难度】★【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：Rx，方程012xx无实根.（4）5x（5）人类在2020年登上火星.【难度】★【答案】（1）是命题，且是真命题.（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断.（3）不是命题，是祈使句.（4）是开语句，不是命题.（5）是命题.但目前无法判断真假.【例3】下面有四个命题：①若a不属于N，则a属于N；②若abNN，，则ab的最小值为2；③212xx的解可表示为11，．其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】A例题解析5/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）【解析】①假命题，如12a；②假命题，集合N中最小的数是0，如01ab，；③假命题，11，与集合元素的互异性矛盾．【例4】下列判断中正确的是().A.“12是偶数且是18的约数”是真命题B.“方程210xx没有实数根”是假命题C.“存在实数x，使得23x且216x”是真命题D.“三角形的三个内角的和大于或等于120”是假命题【难度】★★【答案】C【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，Axy、22()，Bxy，定义它们之间的一种“距离”：1212ABxxyy．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则ACCBAB；②在ABC中，若90C，则222ACCBAB；③在ABC中，ACCBAB．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★★【答案】A【解析】记，，ABC三点的坐标分别为()()()，，，，，AABBCCxyxyxy，则+≥ACCBACCBABABACCBxxxxyyyyxxyyAB，当，CCxy都分别在，ABxx与，AByy之间时，上面的不等式取到等号，故①正确，③不一定；对于②，取(00)(01)(10)，，，，，CAB，则②中等式左边112，右边2(11)4，故②假．6/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a，那么2a（）【难度】★【答案】真2、若2,5x和|14xxxx或都是假命题，则x的范围是__________【难度】★★【答案】1,2【解析】2,5x和|14xxxx或都是假命题，则2,514xxx或3、已知,AB是两个集合，下列四个命题：①B,AxAxB不包含于对任意有②BAAB不包含于③BAA不包含于不包含B④B,AxAxB不包含于存在其中真命题的序号是【难度】★★【答案】③④【解析】①反例：1,2,3,2,3,4AB4、下面有四个命题：①集合N中最小的数是1；②若a不属于N，则a属于N；③若,,NbNa则ba的最小值为2；④xx212的解可表示为1,1.其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】A【解析】①假命题，集合N中最小的数是0；②假命题，如12a；7/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）③假命题，如0,1ab；④假命题，1,1与集合元素的互异性矛盾.二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若xy，则||||xy”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【难度】★★【答案】逆命题：若||||xy，则xy（假，如1x，1y）否命题：若xy，则||||xy（假，如1x，1y）逆否命题：若||||xy，则xy（真，∵||||xyxy）【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【难度】★★【答案】（3）【例8】写出命题“若ba,都是偶数，则ba是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【难度】★★【答案】逆命题:若ba是偶数，则ba,都是偶数，它是假命题;否命题:若ba,不都是偶数，则ba不是偶数，它是假命题;逆否命题:若ba不是偶数，则ba,不都是偶数，它是真命题.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a和b都是偶数，则ab是偶数”；⑶“当0c时，若ab，则acbc”；⑷“若5xy，则3x且2y”；【难度】★★【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假）否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假）逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真）⑵逆命题：若ab是偶数，则a和b都是偶数．（假）否命题：若a和b不全是偶数，则ab不是偶数．（假）奎屯王新敞新疆8/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）逆否命题为：若ab不是偶数，则a和b不都是偶数．（真）⑶分析：“当0c时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc．逆命题：当0c时，若acbc，则ab．（真）否命题：当0c时，若ab≤，则acbc≤．（真）逆否命题：当0c时，若acbc≤，则ab≤．（真）⑷逆命题：若3x且2y，则5xy．（真）否命题：若5xy，则3x或2y．（真）逆否命题：若3x或2y，则5xy．（假）【例10】已知命题p：方程210xmx有两个不相等的实负根，命题q：方程24(2)10xmx无实根；若p与q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．【难度】★★★【答案】由命题p可以得到：2400mm∴2m由命题q可以得到：2(2)160m∴26m因为,pq有且仅有一个为真当p为真，q为假时，262,6mmmorm当p为假，q为真时，22226mmm所以，m的取值范围为{|6mm或22}m．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0xy，则,xy互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q≤，则220xxq有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【难度】★★【答案】C【解析】①的逆命题为“若,xy互为相反数，则0xy”，为真命题；②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；③为真命题，∵1q≤时，一元二次方程的判别式440q≥，故有实根，原命题为真，从而它9/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）的逆否命题为真命题；④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.2、原命题：“设abcR，，，若ab，则22acbc”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）个．A．0B．1C．2D．4【难度】★★【答案】C【解析】逆命题和否命题是真命题．3、命题：“若21x，则11x”的逆否命题是（）A．若21x≥，则1x≥或1x≤B．若11x，则21xC．若1x或1x，则21xD．若1x≥或1x≤，则21x≥【难度】★★【答案】D4、有下列四个命题：①命题“若1xy，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m，则220xxm有实根”的逆否命题；④命题“若ABB，则AB”的逆否命题．其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．【难度】★★【答案】①②③【解析】①、②显然正确；③当1≤m时，有440≥m，∴方程有实数根，即原命题为真，∴它的逆否命题也为真；④ABB则BA，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（）A、，，中至少有一个是正数B、，，全不是负数C、，，中只有一个是负数D、，，中至少有一个是非负数【难度】★【答案】D【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（D）10/21专业引领共成长高一数学秋季班课程命题和充要条件（教师版）A、B、C、D、【难度】★★【答案】D【例14】命题：已知a，b为实数，若20xaxb有非空解集，则240ab。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？【难度】★★【答案】逆命题：已知a，b为实数，若240ab，则20xaxb有非空解集否命题：已知a，b为实数，若20xaxb没有非空解集，则240ab逆否命题：已知a，b为实数，若240ab，则20xaxb没有非空解集通过原命题为真得出逆否命题为真，通过否命题为真的出你逆命题为真。【例15】下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．（1）方程2560xx的解是3x；（