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....第一章数和数的运算一、概念和结论（一）整数1、整数：自然数和0都是整数。整数分为正整数、0和负整数。2、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3……叫做自然数，一个物体也没有，就用0表示。0是最小的自然数，自然数包括正整数和0。3、计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5、数的整除：如果整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和因数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。例如：3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。一个数最大的因数和最小的倍数相等，都是它本身。一个数的所有倍数都是它的所有因数的倍数，一个数的所有因数都是它的所有倍数的因数。6、能被2、3、5、8、9整除的数的特征：能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304。能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405。能被5整除的数的特征：一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：204、48.能被9整除的数的特征：一个数各个数位上的数字之和能被9....整除，这个数就能被9整除。例如：234、630.能被4（或25）整除的数的特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的数的特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数能被8（或125）整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。能同时被2和3整除的数，一定是6的倍数。能同时被2和5整除的数，个位一定是0（也就是10的倍数）。能同时被3和5整除的数，一定是15的倍数。能同时被2、3、5整除的数，一定是30的倍数；能同时被2、3、5整除的最小三位数是120，最大的三位数是990。7、偶数与奇数、质数与合数：自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数两类。能被2整除的数叫做偶数，最小的偶数是0。不能被2整除的数叫做奇数，最小的奇数是1。按因数的个数可以把自然数分为质数、合数、1三类。只有1和它本身两个因数的数叫做质数。除了1和它本身之外还有别的因数的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。100以的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。质数只有两个因数，合数至少有三个因数。1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4，既是偶数又是质数的数只有2，20以既是奇数又是合数的数只有9和15。分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：15=3×5，3和5叫做15的质因数。8、公因数与公倍数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们的最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6……；3的倍数有3、6、9……。其中，6、12……是2和3的公倍数，6....是2和3的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。9、互质数：互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质的两个数不一定是质数。互质数的6种特例：相邻的两个自然数一定是互质数，例如：15和16；相邻的两个奇数一定是互质数，例如：15和17；1和任何一个自然数一定是互质数；2和任何一个奇数一定是互质数；两个不同的质数一定是互质数，例如：7和13；一个质数与一个合数，如果它们不成倍数一定是互质数，例如：5和33。（二）小数1、小数的意义把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……一个小数由整数部分、小数部分和小数点组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。2、小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25和0.368。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25和5.26。有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7和25.3。无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33……和3.1415926……。....无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：∏循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如：3.555……0.0333……12.109109……。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656……。混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。例如：3.1222……0.03333……。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首位数字和末位数字上各点一个圆点。（三）分数1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。表示其中的一份的数，叫做分数单位。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。2、分数的分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3、约分和通分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把一个分数化成最简分数的过程叫做化简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（四）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”来表示。百....分号是表示百分数的符号。二、方法（一）数的读法和写法1、整数（1）整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位上有一个0或连续的几个0都只读一个零。（2）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。2、小数（1）小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。（2）小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。3、分数（1）分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。（2）分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。4、百分数（1）百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。（2）百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。（二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。1.准确数：在万位或亿位数字后面打上小数点，省略小数末尾的0，再加上一个“万”字或“亿”字，用等号连接。例如：1254300000＝125430万；1254300000＝12.543亿。2.近似数：找到万位或亿位，看千位或千万位上的数字是否满5，满了5就向前一位进一，并舍去尾数；没满5就直接舍去尾....数，同时在后面加上一个“万”字或“亿”字，用约等号连接。例如：1302487015≈130249万，1302487015≈13亿。（三）近似数1、四舍五入法：比保留的位数多看一位，该位上的数字是“4”或者比“4”小，就舍去，该位上的数字是“5”或者比“5”大，向前一位进一。2、去尾法：无论尾数的是几，一律舍去的凑整方法叫做“去尾法”。3、进一法：无论尾数是几，舍去时，并向前进一。（四）大小比较1、比较整数大小：先看位数，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。2、比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……3、比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。4、0与负数的比较：0比任何负数都大。5、比较负数的大小：在负数中，数值越大的负数反而越小，数值越小的负数反而越大。（五）数的互化1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2、分数化成小数：用分子除以分母。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留两位小数。3、一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。....4、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5、百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。7、百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。8、熟记常用的分数、小数、百分数的互化：12＝0.5＝50%14＝0.25＝25%34＝0.75＝75%15＝0.2＝20%25＝0.4＝40%35＝0.6＝60%45＝0.8＝80%18＝0.125＝12.5%38＝0.375＝37.5%58＝0.625＝62.5%78＝0.875＝87.5%125＝0.04＝4%（六）数的整除1、分解质因数：把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2、求两个数的最大公因数：先用这两个数的公因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的的最大公因数。3、求两个数的最小公倍数：方法与求最大公因数的方法相同，....只是最后要把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这两个数的最小公倍数。（七）约分和通分约分：用分子和