实变函数第三章习题解答

第三章作业1．证明：若E有界，则mE∗+∞．2．证明：可数点集的外测度为零．3．证明：设E是直线上一有界集，，则对任意小于的正数，恒有0mE∗mE∗cE的子集，使．1mEc∗=4．证明：设是一些互不相交的可测集合，，，求证．12,,,nSSSiiES⊂1,2,,in=11()nniiiimEmE∗∗===∑∪5．若0mE∗=，则E可测．6．证明康托尔（Cantor）集合的测度为零．7．设且．若,qABR⊂mB∗+∞A是可测集，证明．()()mABmAmBmAB∗∗∗=+−∪∩8．证明：若E可测，则对于任意0ε，恒有开集及闭集，使，GFFEG⊂⊂而(),()mGEmEFεε−−．9．设，存在两列可测集{}，使得且，则qER⊂,{}nnABnnAEB⊂⊂lim()0nnnmBA→∞−=E可测．10．设，证明成立不等式：,qABR⊂()()mABmABmAmB∗∗∗+≤+∪∩∗．11．设，若对任意的nER⊂0ε，存在闭集，使得FE⊂()mEFε∗−，证明E是可测集．12．证明：直线上所有可测集合作成的类μ的基数等于直线上的所有集合类的基数．