北师版八年级数学知识点及例题

-1-/32八年级上册专题一勾股定理(已知两边求第三边)基础篇一．勾股定理：如右图，直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2。（一）．勾股定理证明：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。分析：⑴准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正解：由面积相等得4×21ab＋（b－a）2=c2，化简可证a2+b2=c2（二）．勾股数：具有a2+b2=c2特性的正整数；例如：32+42=52所以3,4,5是勾股数.例1：在ABC中,∠C=90°，若a2+b2=c2,(1)若a=3，b=4,则c=__5_.(2)若a=6,c=10,则b=____8__.(3)若c=13，a：b=5:12，则a=__5_，b=__12_.例2：填入勾股数；（1）8、15、_17__；（2）3、4、__5___；（3）7、24、_25__；（4）6、8、_10__。自测题：1、在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=17。2、在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c=5。3、在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=6，b=8。二．勾股定理逆定理:三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形;较大边c所对的角是直角.三．互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.例4：提高篇四．1.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2=___7或25_____。2.在△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是___2.4_____．3.如右图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=17.4.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，bacCABcbaDCABADC6449BC341312D-2-/32CDBE第8题图Ｄx6x8-x46ABCDEF810106X8-X48-XBA155CBC=12m。求这块地的面积。解：s=12×5÷2=30（m2）30-6=24（m2）5.如图在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，D为垂足，AC=3cm,BC=4cm.求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。解：①s=4×3÷2=6（cm2）②AB=5cm③CD=2.4cm专题二勾股定理(方程思想解答折叠问题)一．方程思想：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。例1：如右图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？解：设AE=x,则EB=(25-X)由CE2=EB2+BC2得CE2=DE2=152+X2所以AE=10（KM）例2：如右图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD=X,方程为X2+42=（8-x)2X=3cm例3：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求.CF和EC的长.解：设EC=X,方程为（8-x)2=X2+42X=3cm所以FC=4cmEC=3cm专题三勾股定理(展开思想解答蚂蚁吃食问题)例1：如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？解：如下图分析所示第一个图形的值为152+202=252所以最短距离为25cmDABCA２０1０-3-/32BB8OA2蛋糕AC８周长的一半６例2：如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(∏取3）是(B)A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定专题四实数分类题一．实数的分类（按定义分类）0正整数整数负整数有理数有限循环或无限循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数BAC1551020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105-4-/320正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数（按正负分类）2．相反数：ba,互为相反数0ba；0的相反数是0；4．倒数：ba,互为倒数0;1ab没有倒数.例1：把下列各数分别填入相应的集合里：2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223有理数集合：｛3.0，722，3125，210，0｝；无理数集合：｛12，1010010001.0，2｝；负实数集合：｛3125，12，2｝；自测题：1.在52，3，2，116，3.14，0，21，52中，其中：整数有；无理数有；有理数有。例2：52的相反数是；绝对值是。例3：如图，数轴上与1，2对应的点分别为A、B，点B关于A点的对称点为C，设点C表示的数为x，求∣x-2∣+x2的值。CAB0x12解：1-x=12例如：1，2，3万，200%例如：5.2，20%，例如：2，π例如：-1，-2，-3万，-200%例如：-5.2，-20%，例如：-2，-π8181-)0(a3．绝对值：aa0a)0(a)0(a3.03.0--5-/32得x=1-2+1X=2-2所以：∣x-2∣+x2=23例4：.已知，a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于1，求mmbamcd)(的值。解：由题意知a+b=0cd=1m=±1当m=-1时，有mmbamcd)(=-2当m=1时，有mmbamcd)(=0专题五实数（平方根）一．定义：x，axax记作的平方根叫做数则数若,2±a.性质：1.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；例如：9的平方根是±32.0的平方根是0；3.负数没有平方根。4.正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记着a。例如：4的平方根是+25.(a)2=a(a≥0)例1：填空题(1)1214的平方根是_________；(2)(－41)2的算术平方根是_________；(3)一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________；(4)25的算术平方根是_________；(5)9－2的算术平方根是_________；(6)4的值等于_________，4的平方根为_________；(7)(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________.答案：(1)±112(2)41(3)－19(4)5(5)91(6)2±2(7)±44例2：已知（1-2a)2+2b=0,求ab的值。6．绝对值：aa0a)0(a)0(a6.2a=)0(a-6-/32解：由题意知a=21，b=2所以ab=21×2=1二．学会分析a在哪两个数的范围之内。例3：确定13的值在哪两个整数之间。解：因为9〈13〈16所以9〈13〈16即：3〈13〈4例4：求下列各式中的X(1)9X2=25(2)(X+3)2-16=0解：x2=925解：(X+3)2=16X=±35x+3=±4当x+3=4时解x=1当x+3=-4时解x=-7提高篇：1.一个数X的平方根是2a-3与5-a，求a的值和这个数。解得：（2a-3）=-（5-a）所以a=-2，这个数是49.2.若4，13=2，且ab〉0，则a-b=03.若5x+4的平方根是±1，则x=-354.△ABC的三边长为a，b，c，且a，b满足1a+b2-4b+4=0求c的取值范围。解：因为1a+（b-2)2=0所以a=1，b=2而baC〈ba解之得1〈C〈35.已知（a+b+2）（a+b-2）=45，求a+b的算术平方根。解：（a+b）2-4=45（a+b）2=49所以a+b的算术平方根为9专题六实数（立方根）定义：x，axax记作的立方根叫做数则数若,33a.a〈-7-/32性质：1.正数有一个正的立方根。例如：2832.负数有一个负的立方根。例如：32733.0的立方根就是0本身。例如：003例1：求下列各式的值：(1)31000(2)；37291000；(3)364125；(4)31；答案：(1)10(2)910(3)45(4)1例2：已知X-2的平方根是±2,2X+Y+7的立方根是3，求X2+Y2的平方根。解：X-2=4X=62X+Y+7=27Y=8所以X2+Y2=100,即求100的平方根为±10.例3：求下列各式中的X02783x93313x解：8x3=-27解：（x-3)3=278273xx-3=3X=23x=6提高篇例4：(1)3512的立方根是2。(2)216的平方根是±2。(3)25的平方根是5。（4）（4)2的算术平方根是4。（5）213的倒数是72。（6）2的相反数是2。例5：已知034)12(23zyzx，求的值。333zyx解：x=64y=5z=3所以6333zyx例6：设x、y是有理数，并且满足等式2316232yyx，求2x+y的值。解：由题意知1632yx5x232y3y所以2x+y的值为7或-13专题七实数（无理数计算）解题模板：（1）bcabcba)(2122)57(2527例如：-8-/32（2）aaa777例如：（3）abaaababab177177171例如：（4）abbabdcadcba)(522045例如：(5))0a()(2条件aa)0a(条件a(6)a2)0a(条件a基础题：例1：化简求值。（1）125520解得：原式（2）532712解得：原式（3）1)23()23(解得：原式（4）316483122解得：原式（5）77557002871解得：原式（6）227221332解得：原式例2：化简求值。（1）)323(2=31（2）33)147162()7527223(（3）33268)6322443(（4）62632专题八图形的平移与旋转（平移、旋转和轴对称）1、平移（1）平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。（2）平移的性质：a、平移不改变图形的形状和大小，改变的是图形的位置。b、对应点之间所连的线段平行且相等。c、对应线段平行且相等，对应角相等。（3）平移的作图a、平移2个要素：方向，距离b、关键是找对应点，方法可以利用对应点之间所连的线段平行且相等；也可利用对应线段平行且相等。2、旋转（1）旋转的概念：在平面内，将一个图形绕某个点（指旋转中心）沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转。（2）旋转的性质：a、旋转也不改变图形的形状和大小，改变的是图形的位置。b、对应线段相等、对应角相等。-9-/3230lC'B'A'BCA50c、对应点与旋转中心的连线所成的角叫旋转角。旋转角相等。（3）旋转的作图a、旋转的3个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。b、关键也是找对应点，紧扣旋转角相等和对应线段相等这一性质。3、常见的图形变换方式：平移，旋转，对称（或折叠）常考题型：1、下列图形中，既是．．轴对称图形又是．．中心对称图形的是（）答案：B2、如图，以点为为