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必修2空间几何体单元测试一．选择题（共10小题）1．（2019秋•温州期末）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆台、一个圆锥【解析】解：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B．2．（2019秋•汉中期末）下列几何体中，不是旋转体的是（）A．B．C．D．【解析】解：根据旋转体的概念可知：B，C，D中三个几何体均为旋转体，A中几何体为多面体，故选：A．3．（2019秋•香坊区校级期末）已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．√3C．2D．√2【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l；则圆锥的表面积为S＝πr2+πrl＝9π，…①又圆锥的侧面展开图是一个半圆，即2πr＝πl，…②由①②解得r=√3．所以圆锥的底面半径为√3．故选：B．4．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．若胡夫金字塔的高为h，则该金字塔的侧棱长为（）A．√2𝜋2+1ℎB．√2𝜋2+4ℎ8C．√𝜋2+16ℎ4D．√2𝜋2+16ℎ4【解析】解：设该金字塔的底面边长为a，则4𝑎2ℎ=π，可得：a=𝜋ℎ2．∴该金字塔的侧棱长=√ℎ2+(√2𝑎2)2=√ℎ2+24×𝜋2ℎ24=√16+2𝜋24h．故选：D．【点睛】本题考查了正四棱锥的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2020•抚顺模拟）某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A．(45+9√2)𝜋B．36πC．63πD．216+9π【解析】解：由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝V柱+V锥＝π•32•6+13π•32•3＝63π．故选：C．【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题，是基础题．6．（2019秋•吉林期末）如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①D．②③【解析】解：∵PA⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，∴PA⊥BC而BC⊥AC，PA∩AC＝A∴BC⊥面PAC，而PC⊂面PAC∴BC⊥PC，故①正确；∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点∴OM∥PA，而OM⊄面PAC，PA⊄面PAC∴OM∥平面APC，故②正确；∵BC⊥面PAC，∴③正确．故选：B．【点睛】本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．7．（2020•唐山一模）《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米（）A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛【解析】解：设圆柱的底面半径为r，则2πr＝54，得r＝9，故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴该圆柱形容器能放米4374÷1.62≈2700斛，故选：B．【点睛】本题考查圆柱体积的求法，考查圆的周长公式的应用，是基础题．8．（2020•唐山一模）已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，且AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则PA＝（）A．2B．√6C．√31D．√33【解析】解：设底面四边形ABCD的外接圆为圆M，如图所示：，∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠ABC，又因为圆内接四边形对角互补，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴底面四边形ABCD的外接圆的圆心M为AC的中点，∵AD＝1，CD＝2，∠ADC＝90°，∴AC=√5，即面四边形ABCD的外接圆的半径r=√52，过点M作底面ABCD的垂线，则球O的球心O在垂线上，如图所示：，过球心O作ON⊥PA于点N，故四边形AMON为矩形，∵球O的表面积为36π，∴4πR2＝36π，∴R＝3，在Rt△OAM中：AM＝r=√52，OA＝R＝3，∴OM=√32−(√52)2=√312，在Rt△PON中：ON＝AM＝r=√52，OP＝R＝3，∴PN=√32−(√52)2=√312，∴PA＝PN+AN＝PN+OM=√31，故选：C．【点睛】本题主要考查了四棱锥的外接球，是中档题．9．（2020春•鼓楼区校级期中）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．据说阿基米德对这个图最引以为自豪．在该图中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A．2：1B．√5：2C．3：2D．4：3【解析】解：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝2R，则V球=43πR3，V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．∴𝑉柱𝑉球=2𝜋𝑅343𝜋𝑅3=32．故选：C．【点睛】本题考查阿基米德的墓碑上刻着的圆柱及圆柱内切球的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10．（2020•广东一模）已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（）A．3227√3𝜋B．323𝜋C．329√3𝜋D．163𝜋【解析】解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12𝐴𝐵=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√𝑃𝐴2−𝐴𝐷2=√4−1=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD中，R2＝r2+（PD﹣R）2，即R2＝1+（√3−R）2，解得：R=2√3=2√33，所以外接球的体积V=4𝜋3R3=32√327π，故选：A．【点睛】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．二．填空题（共4小题）11．（2020•抚顺模拟）已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是27π．【解析】解：设圆柱的底面圆的半径为r，高为h．由题意可得{2𝜋𝑟ℎ2𝜋𝑟2+2𝜋𝑟ℎ=122(2𝑟+ℎ)=18，解得r＝h＝3，则该圆柱的体积是πr2h＝27π．故答案为：27π．【点睛】本题考查圆柱的侧面积、表面积与体积的求法，考查计算能力，是基础题．12．（2020•通州区一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于16√33．【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V=13×12×4×2√3×4=16√33．故答案为：16√33．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13．（2020•广西模拟）一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为3√3𝜋，则该圆锥的体积为√6π．【解析】解：如图，设∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝60°，则SA＝SB＝SC＝AB＝AC＝BC，设AB＝x，则底面的直径为2𝑅=𝑥𝑠𝑖𝑛60°=2𝑥√3，该圆锥的侧面积为12𝜋⋅2𝑥√3𝑥=3√3𝜋，解得x＝3，高𝑂𝑆=√32−(√3)2=√6，∴该圆锥的体积为V=13𝜋×(√3)2×√6=√6𝜋．故答案为：√6𝜋．【点睛】本题考查圆锥的结构特征、体积与表面积计算公式，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．14．（2020•全国二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为28𝜋3．【解析】解：取AD的中点F，连接EF，PF，因为底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，所以PF=√3，EF＝2，又PE＝1，所以PF⊥PE，设正方形ABCD的对角线的交点M，过P做底面的投影N，则由题意可得N在EF上，由射影定理可得NE=𝑃𝐸2𝐸𝐹=12，而ME＝1，所以MN=12，PN=√𝑃𝐸2−𝐻𝐸2=√32，MB=12𝐵𝐷=2√22=√2，过M做底面的垂线MO，则四棱锥的外接球的球心在直线MO上，设O为外接球的球心，设球的半径为R，则OP＝OB＝R，过O做OH⊥PN于H，则四边形OMNH为矩形，所以OH＝MN=12，HN＝OM，（i）若球心在四棱锥的内部则可得：在△OPH中，OP2＝OH2+（PN﹣HN）2，即R2＝（12）2+（√32−OM）2，①在△OBM中，OB2＝BM2+OM2，即R2＝（√2）2+OM2，②由①②可得OM=−√33，不符合，故舍去．（ii）若球心在四棱锥的外部则可得：在△OPH中，OP2＝OH2+（PN+HN）2，即R2＝（12）2+（√32+OM）2，③在△OBM中，OB2＝BM2+OM2，即R2＝（√2）2+OM2，④由③④可得R2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S＝4πR2=28𝜋3．综上所述四棱锥的外接球的表面积S＝4πR2=28𝜋3．故答案为：28𝜋3．【点睛】本题考查四棱锥的外接球的半径与四棱锥的棱长之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．三．解答题（共3小题）15．（2020春•湖南期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，𝑃𝐴=𝑃𝐷=√7，Q、F分别为AD、AB的中点，PF⊥AC．（1）求证：面POF⊥面ABCD；（2）求三棱锥B﹣PCF的体积．【解析】解：（1）证明：连接BD，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又O，F分别为AD，AB的中点，∴OF∥BD，∴AC⊥OF，又PF⊥AC，OF∩PF＝F，∴AC⊥平面POF，又AC⊂平面ABCD，∴平面POF⊥平面ABCD，（2）解：由（1）知，AC⊥平面POF，∴AC⊥PO，又PO⊥AD，AD∩AC＝A，∴PO⊥平面BCF，PO=√𝑃𝐴2−𝐴𝑂2=√3，在菱形ABCD中，F为AB的中点，∠DAB＝60°，∴BF＝2，∠FBC＝120°，BC＝4，∴△FBC的面积为𝑆△𝐹𝐵𝐶=12×2×4×𝑠𝑖𝑛120°=2√3，∴三棱锥B﹣PCF的体积为：VB﹣PCF＝VP﹣BCF=13𝑆△𝐵𝐶𝐹⋅𝑃𝑂=13×2√3×√3=2．．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：CN⊥平面MA1B1；（2）求三棱锥M﹣A1B1C体积．【解析】（1）证明：取A1B1中点P，连接PN，由于P，N分别为A1B1，B1C1的中点，所以𝑃𝑁∥¯¯12𝐴1𝐶1而𝑀𝐶∥¯¯12𝐴1𝐶1，则𝑃𝑁∥¯¯𝑀𝐶，所以PNCM为平行四边形，所以CN∥PM，又因为CN⊄面MA1B1，PM⊂面MA1B1，所以CN∥平面MA1B1．（2）解：由（1）知C、N到面MA1B1距离相等，则V𝑀−𝐴1𝐵1𝐶=V𝐶−𝐴1𝐵1𝑀=𝑉𝑁−𝐴1𝐵1𝑀=𝑉𝑀−𝐴1𝐵1𝑁=13𝑆𝐴1𝐵1𝐴⋅𝐴𝐴1=13×√32×2=√33．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间