集合及其表示方法学案(学生用)

11.1.1集合及其表示方法【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素．(3)表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就记作，读作“a属于A”．(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作，读作“a不属于A”．知识点三空集一般地，我们把不含任何元素的集合称为，记作.知识点四集合中元素的三个特性(1)；(2)；(3)．知识点五集合的分类(1；(2)．知识点六几个常用数集的固定字母表示知识点七集合的表示方法集合常见的表示方法有：、、、(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)．(1)列举法：把集合中的元素出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在内，以此来表示集合的方法称为列举法．使用列举法表示集合时需注意的几点①元素之间用“，”隔开；②元素不重复，满足元素的互异性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．知识点八区间2实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，xa，x≤b，xb的实数x的集合分别表示为、、．可以看出，区间实质上是一类特殊(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．()(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一且只居其一．()(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.()(4)对于区间[2a，a＋1]，必有a0.()(5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．()2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是()A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，∉)填空．0________∅，0________{0},0________N，－2________N*，13________Z，2________Q，π________R.(3)不等式2x－1≥3的解集可以用区间表示为________．【核心素养】题型一集合概念的理解例1下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数全体；④某校高一年级的全体女生；⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员；⑦a，b，a，c.【跟踪训练1】判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合．3题型二元素与集合关系的判断与应用例2(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1B．2C．3D．4(2)集合A中的元素x满足66－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【跟踪训练2】(1)用符号“∈”或“∉”填空．①0________N*；②1________N；③1.5________Z；④22________Q；⑤4＋5________R；⑥若x2＋1＝0，则x________R.(2)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.①求实数x应满足的条件；②若－2∈A，求实数x的值．题型三集合中元素的特性例3已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值．【跟踪训练3】已知集合A包含三个元素：a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值．题型四集合的分类例4下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集．(1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数；(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点；(4)在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的解集；(5)在实数范围内方程组x2－x＋1＝0，x＋y＝1的解构成的集合．【跟踪训练4】指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集．(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数．题型五用列举法表示集合例5用列举法表示下列集合：(1)方程x2－4x＋2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的质数集；(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合．【跟踪训练5】用列举法表示下列集合：(1)不等式组2x－60，1＋2x≥3x－5的整数解组成的集合；(2)式子|a|a＋|b|b(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合．4题型六用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合；(2)所有被3除余1的整数的集合；(3)使y＝1x2＋x－6有意义的实数x的集合．【跟踪训练6】试用描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．题型七列举法和描述法的综合运用例7集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.【跟踪训练7】(1)设集合B＝x∈N62＋x∈N.①试判断元素1,2与集合B的关系；②用列举法表示集合B.(2)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．题型八集合中的新定义问题例8已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为()A．3B．6C．8D．9【跟踪训练8】定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6【随堂测试】1．下列所给的对象不能组成集合的是()A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．我班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为()A．2B．2或4C．4D．03．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1B．2C．3D．44．用适当符号(∈，∉)填空．(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.