北师大版七年级下册三角形动态问题拔高题共张PPT

三角形动态问题——动点，动线，动图1.如图，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？（2）若点Q以②的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？（1）①∵t=1（秒），∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=12，D为AB中点，∴BD=6（厘米）又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米）∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=6．∴点P的运动时间此时BP4.5t1.5()33秒CQ6VQ4()t1.5厘米/秒（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，解得x=24（秒）此时P运动了24×3=72（厘米）又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．2.如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S；（1）∵长方形ABCD，∴∠A=∠B=90°，∵点E为AD的中点，AD=6cm，∴AE=3cm，又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，∴AE=BP，在△AEP和△BQP中，∴△AEP≌△BPQ，∴∠AEP=∠BPQ，又∵∠AEP+∠APE=90°，故可得出∠BPQ+∠APE=90°，即∠EPQ=90°，即EP⊥PQ．（2）连接QE，由题意得：AP=BQ=t，BP=4﹣t，CQ=6﹣t，SPEQ=SABCD﹣SBPQ﹣SEDCQ﹣SAPE=AD·AB﹣0.5AE·AP﹣0.5BP·BQ﹣0.5(DE+CQ)·CD=24﹣0.5×3t﹣t（4﹣t）﹣0.5×4（3+6﹣t）=0.5t2﹣1.5t+6．3．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：①BQ=AM②③的度数不变，始终等于600④当第2秒或第4秒时，PBQ为直角三角形，正确的有（）个．CAPABQCMQA．1B．2C．3D．4CG1或3.5或124.5.如图所示，有一直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，PQ＝AB，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动．问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？解:由题意可知，∠C＝∠PAQ＝，又AB＝PQ，要△ABC≌△APQ，则只须AP＝BC或AP＝AC即可，从而当点P运动至AP＝5cm，即AC中点时，△ABC≌△APQ，或点P与点C重合即AP＝AC＝10cm时，△ABC≌△AQP．6.如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动多少秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6﹣2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2+6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6+6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），综上所述，当点P运动0或4或8或12秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．去掉，7.8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）求证：△DFE是等腰直角三角形；（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由；（4）求△CDE面积的最大值．（1）求证：△ADF≌△CEF；．证明：依题意可知：AF=CF，45DAFECF在△ADF和△CEF中AFCFAECFADCE∴△ADF≌△CEF.（2）求证：△DFE是等腰直角三角形；证明：由（1）得：△ADF≌△CEF.∴DF=EF，AFDCFE∵90AFC，∴90AFDDFCCFEDFC即90DFE，∴△DEF是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由；解：四边形CDFE的面积保持不变.理由如下：由（1）可知△ADF≌△CEF.∴△ADF的面积+△BEF的面积=△CEF的面积+△BEF的面积=△BCF的面积.∴四边形CDFE的面积=△ABC的面积-（△ADF的面积+△BEF的面积）=△ABC的面积-△BCF的面积=△ABC的面积的一半.故四边形CDFE的面积保持不变.（4）求△CDE面积的最大值．解：由（3）四边形CDFE的面积保持不变.∵△CDE的面积+△DEF的面积=四边形CDFE的面积.∴△CDE的面积+△DEF的面积保持不变.要使△CDE的面积最大，就要使△DEF的面积最小，所以就要使DF和EF最小.故当DF⊥AC，EF⊥BC时，△DEF的面积最小.此时，D、E分别为AC和BC的中点，故△CDE的面积=14△ABC的面积.图形的翻折9.如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，则∠θ的度数是_________.解：由题意得△BAC≌△BAE≌△DAC∴∠EBA＝∠ABC,∠ACB＝∠ACD根据三角形内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝180°－150°＝30°∴∠θ＝∠EBC＋∠DCB＝2(∠ABC＋∠ACB)＝2×30°＝60°.60°折叠与对称10.如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为________．1011.我们知道，国旗上的五角星是旋转对称图形，当它绕中心旋转到与自身重合时，至少需要旋转()A．36°B．60°C．45°D．72°12.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=8，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A.20B.24C.25D.26D旋转问题平移问题DABCFG图113．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴BF=CG.ABCEFG图2D（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形.∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC.∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC.又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG.ABCDEFG图3（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合时，（2）中的猜想是否仍然成立？并说明理由.（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．14.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）如图1，请你写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点O，连接AP，BO．猜想并写出BO与AP所满足的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）将△EFP沿直线l继续向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点O，连接AP，BO．此时，BO与AP还具有（2）中的数量关系和位置关系吗？请说明理由．（1）∵AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP．∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，∴∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，∴∠BAP=90°，∴AP=AB，AP⊥AB；（2）延长BO交AP于H点，如图2∵∠EPF=45°，∴△OPC为等腰直角三角形，∴OC=PC，在△ACP和△BCO中∴△ACP≌△BCO（SAS），∴AP=BO，∠CAP=∠CBO，而∠AOH=∠BOC，∴∠AHO=∠BCO=90°，∴AP⊥BO，即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直；（3）BO与AP所满足AP=BO，AP⊥BO．理由如下：延长BO交AP于点H，如图3，∵∠EPF=45°，∴∠CPO=45°，∴△CPO为等腰直角三角形，∴OC=PC，∵在△APC和△OBC中，∴△APC≌△OBC（SAS），∴AP=BO，∠APC=∠COB，而∠PBH=∠CBO，∴∠PHB=∠BCO=90°，∴BO⊥AP，即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．15.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=______度，请说明理由；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．90（1）理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠AC