数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、复习引入sinsincoscoscos)(sinsin(coscos(cos[(cos))])sinsin(coscos(cos[(cos))])22(coscos)(sinsin)2cos()2ababab+++--=2sinsincoscos2cos22])()[()(一、复习引入两角差的余弦公式C（α-β）coscoscossinsin（）-cos()C（）能不能由公式推出的值吗？二、基础知识讲解cos()cos[()]由于cos()coscossinsinC（）所以，对于任意角，有　　　简记为coscos()sinsin()coscossinsin于是，对于任意角α、β都有coscoscossinsin（）CCSS符号相反二、基础知识讲解-sin,sinCC（）（）探究：上面我们得到了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化。你能根据，及诱导公式五（或六），推导出用任意角，的正弦、余弦值表示（）（）的公式吗？2()sin诱导公式五：cos二、基础知识讲解sin()cos[()]2sin()cos[()]2cos[()]2cos()cossin()sin22sincoscossincos[()]2cos()cossin()sin22sincoscossin():两角和差的正弦公式二、基础知识讲解()()Ssin()sincoscossin()()Ssin()sincoscossin123:();(),;():sincoscossin.公式的特点公式对、取任意值都成立公式中右边有两项中间符号与左边两角间的符号相同右边三角函数的排列的顺序是、正余余正符号相同sin15°sin75°二、基础知识讲解()tan()tan()CS（），探究：你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角，的正切表示的、公式吗？cossintan:提示tan().首先推导sin()tan()cos()sincoscossincoscossinsin(这里有什么要求?)sincoscossincoscoscoscoscoscossinsincoscoscoscos(又有什么要求?)tantan1tantan2()kkZ22()kkkZ二、基础知识讲解tantantan()1tantan:?问如何解决两角差的正切问题tantan()tan()tan[()]1tantan()tantan1tantantan():两角差的正切公式12134(),;(),(),().(),(),.()tantan,tantan,.公式中、、、的取值要使正切值有意义公式中右边是分式分子是与的正切和差分母是与、的正切积的差和公式中都是正切运算分子的运算与左边的和差相同分母相反两角和的正切公式中有式子因此常又与一元二次方程联系在一起:两角和的正切公式§4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(3):公式的特点():T代号():T代号二、基础知识讲解tantantan()1tantan:?问如何解决两角差的正切问题tantan()tan()tan[()]1tantan()tantan1tantantan():两角差的正切公式:两角和的正切公式():T代号():T代号二、基础知识讲解注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。如:已知tan=2,求不能用tan()2()T2注意公式的结构，尤其是符号。§4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(3)二、基础知识讲解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系C(-)C(+)-代S(-)2S(+)2-代-代T(+)CS相除T(-)CS相除三、例题分析利用和（差）角公式，求下列各式的值：(1)sin15°(2)cos75°(3)sin75°(4)tan15°课本P131练习1正用公式三、例题分析335444sin,sin(),cos(),tan().例：已知是第四象限角，求的值,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1sin1(),5sin3tancos4所以)sincoscossin444于是有sin(242372();252510正用公式三、例题分析335444sin,sin(),cos(),tan().例：已知是第四象限角，求的值)coscossinsin444cos(242372();252510tantantan14tan()41tan1tantan4314731()4正用公式三、例题分析335444sin,sin(),cos(),tan().例：已知是第四象限角，求的值72)410cos(72)410sin(4cos4sin证明①利用诱导公式②利用和(差)角公式P131练习2,3,4正用公式【例4】已知0βπ4α3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513.求sin(α＋β)的值．[分析一]比较已知角与待求式中的角的关系，不难发现：(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，即α＋β＝－π2＋(3π4＋β)－(π4－α)．[解法一]因为sin(α＋β)＝sin[－π2＋(3π4＋β)－(π4－α)]＝－sin[π2－(3π4＋β)＋(π4－α)]＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)]，所以sin(α＋β)＝－cos(3π4＋β)cos(π4－α)－sin(34π＋β)sin(π4－α)．因为0βπ4α3π4，所以3π43π4＋βπ.又因为sin(3π4＋β)＝513，故cos(3π4＋β)＝－1213.而－π2π4－α0，又cos(π4－α)＝35，故sin(π4－α)＝－45，所以sin(α＋β)＝－(－1213)×(35)－513×(－45)＝5665.[分析二]先将cos(π4－α)＝35，利用诱导公式化为sin(π4＋α)＝35，则不难发现：(π4＋α)＋(3π4＋β)＝π＋(α＋β)，即sin(α＋β)＝－sin[(π4＋α)＋(3π4＋β)]．[解法二]因为0βπ4α3π4，所以π2π4＋απ，sin(π4＋α)＝35，故cos(π4＋α)＝－45.同解答一知cos(3π4＋β)＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin[(π4＋α)＋(3π4＋β)]＝－sin(π4＋α)cos(3π4＋β)－cos(π4＋α)sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)－(－45)×513＝5665.【练1】已知cosα＝45，cosβ＝35，β∈32π，2π且0αβ，则sin(α＋β)的值是()A．1B．－1C．－725D．－1或－725Dα=(α＋β)－β2β=（α＋β）-（α-β）β=α-（α-β）2α=（α＋β）+（α-β）β=（α＋β）-α+=(-)+(-)222变通公式例5化简[2sin50°＋sin10°1＋3tan10°]·2sin280°.[分析]“化切为弦”后使用公式．[解]原式＝2sin50°＋sin10°1＋3sin10°cos10°·2sin280°＝2sin50°＋sin10°(cos10°＋3sin10°)cos10°·2sin280°＝2sin50°＋2sin10°12cos10°＋32sin10°cos10°·2sin280°＝2sin50°＋2sin10°cos50°cos10°·2sin280°＝2×sin50°cos10°＋cos50°sin10°cos10°·2cos10°＝22sin60°＝6.【练3】已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π3＝13，则tanα＋π3=__．29.三、例题分析000000000041sin72cos42cos72sin42;2cos20cos70sin20sin70;1tan15(3)1tan15例：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（）（）4414302coscossinsin()sin;。。。。。。。解：（1)由公式得：sin7227227222207020702070900()coscossinsincos()cos。。。。。。。逆用公式三、例题分析000000000041sin72cos42cos72sin42;2cos20cos70sin20sin70;1tan15(3)1tan15例：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（）（）115451531545154515603tantantan()tantantantan()tan。。。。。。。。。1-1-0000cos15sin15cos15sin15变式：P131练习5逆用公式2510:sin,cos,510例5已知锐角，满足4.A+=则（）43.B454.或C434.或DB三、例题分析P132练习6(1)(2)sincosxbx(3)asincosxbxa222222sincosbabxxababa令2222cossinabbaba22sincoscossinxabx22sinabx22cosabx逆用公式三、例题分析sincosxbx(3)axcosbxsina)xsin(ba22.sinbab,cosbaa2222其中:统一函数名逆用公式P132练习6(1)(2)思考：根据公式，tanα＋tanβ可变形为什么？Ttanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)求值：tan17°＋tan28°+tan17°tan28°逆用公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)tantan(1tanαtanβ)=tan()tantantantan=1tan()tantantantan=1tan()，△ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：,tantan1tantanBABA∴tanA+tanB=∵tanA、tanB、tanC都有意义，∴△ABC中没有直角，∵tan(A+B)==tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)=–tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A