二元一次方程组复习小结

-1-二元一次方程组复习小结在学完第八章之后，常会遇到一些变式问题和一些综合性问题，我们具备怎样的素养，才能准确解答这些问题呢？至少要实现以下六会：一、会根据方程意义，巧推系数取值情况例1.方程●x－2y=x+5是二元一次方程，●是被污染的x的系数，请你推断●的值，属于下列情况中的（）A.不可能是－1B.不可能是－2C.不可能是1D.不可能是2析解：由二元一次方程的意义知，●不可能是1，因为当●是1时，把已知方程整理后，所得的方程就会成为，只含有未知数y的一元一次方程，这与已知相矛盾，所以●的值“不可能是1”.因此，答案应为：C.评注：紧扣二元一次方程的意义推断是关键.二、会依据解的意义，逆推原方程组例2.小明给小刚出了一道数学题：如果我将二元一次方程组中的方程①里y的系数用◆遮住，②中x的系数用◆覆盖，并且告诉你2,1.xy是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？析解：由二元一次方程组解的意义知2,1xy能使①成立，把它代入①得2×2+◆×1=3，解得◆=－1；同样把2,1xy代入②可得，◆=1.把求得的y、x的系数，代入已知方程组即可求得原方程组为213,3.xxy评注：透彻理解二元一次方程组解得意义，是本题求解的关键.三、会选择恰当的变形方程，使得代入后较易化简①②33.2,yxyx-2-①②21图1例3.用代入法解方程组342,25.xyxy使得代入后化简比较容易的是（）A.由①得x=243yB.由①得y=234xC.由②得x=52yD.由②得y=2x－5析解：无论是把A中的x=243y代入②，或把B中的y=234x代入②，或把C中的x=52y代入①，都没有用D中的y=2x－5代入①后容易化简，所以，答案为：D.评注：代入系数为分数的代数式，没有代入系数为整数的代数式容易化简.四、会根据方程特点，筛选最简解法例4.在解方程组15822,9624.xyxy时最简便的办法是（）A.用代入消元法B.用①×9－②×15C.用①×6+②×8D.用①×3+②×4析解：因为已知方程组中，没有直接可以变形为，系数是整数且是用含一个未知数的代数式表示另一未知数的方程，因此不宜用代入消元法，故答案不能为：A；如果按选项B的方法，消去未知数x，不如采用C或D的方法消去y.若在C与D之间选择，则D比C要更简便一些.因此，答案应为：D.评注：一般地，乘的数值越小，越简便；相加消元比相减消元简便.五、会数形结合，把几何问题用代数方法解例5.已知一副三角板，按图1所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°,∠2=y°,则可得到的方程组为（）A.50,180xyxyB.50,180xyxyC.50,90xyxyD.50,90xyxy析解：由“∠1的度数比∠2的度数大50°”可得等式∠1=∠2+50°，又由图1易见，以上面一块三角板的直角顶点，与下面一块三角板的一条直角边的接触点为顶点，构成的角满足等式∠1+90°+∠2=180°，即∠1+∠2=90°.把“∠1=x°,∠2=y°”分别代入上面的两个等式易得方程组x=y+50,x+y=90.因此，答案为：D.评注：由图1得出∠1+∠2=90°是难点.①②-3-六、会处理表述复杂的信息，能用三元一次方程组解应用题例6.某农场有300名职工，耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植这三种农作物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力（人）每公顷需投入资金（万元）水稻41棉花81蔬菜52已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？析解：由题意可得三个等式：（1）水稻的种植面积+棉花的种植面积+蔬菜的种植面积=51公顷，（2）种水稻所需劳动力+种棉花所需劳动力+种蔬菜所需劳动力=300人，（3）种水稻投入的资金+种棉花投入的资金+种蔬菜投入的资金=67万元.设需种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷.由上面三个等式可得方程组51,485300,267.xyzxyzxyz③－①得z=16.④把④代入①得x+y+16=51,即x+y=35.⑤把④代入②得4x+8y+5×16=300,即x+2y=55.⑥⑥－⑤得y=20.⑦把④、⑦代入①得x+20+16=51,即x=15.因此，这个方程组的解为x=15,y=20,z=16.答：安排种水稻15公顷，种棉花20公顷，种蔬菜16公顷即可.评注：正确理解文字和表格表述的信息是关键.用二元一次方程组解决图形问题近年来的二元一次方程组试题突出创新、新颖活泼、格调清新,给人耳目一新的感觉.下面我们以用列二元一次方程组解决图形问题为例,与同学们一起共赏.例1一副三角板按如图1方式摆放,且∠1比∠2大500,设∠1，∠2的度数分别为x,y,则可得方程组为.①②③-4-解析：观察图形可知，∠1、∠2连同三角板的一个直角构成平角，所以∠1与∠2互为余，可得x+y=90°；再由∠1比∠2大500,可得x－y=50°，即005090yxyx.例2图2，图3是由8个一样大小的小长方形拼成的，且图3中的小正方形（阴影部分）的面积为1cm2，求小长方形的长和宽.解析：此题条件比较隐蔽，没有直接给出小长方形的长与宽，但通过观察图形不难发现它们之间的关系.由图2知，小长方形的长的3倍正好等于宽的5倍，由图3知，小长方形宽的两倍正好比长多1，由这两个等量关系即可列出方程组进行求解.设小长形的长为xcm，宽为ycm，据题意列方程组，得1253xyyx解得35yx所以小长形的长为5cm，宽为3cm.当然，用二元一次方程组还能解决很多与图形有关的问题，对于这类问题解决的关键是，从图形中找到隐含的条件，找好等量关系，设置未知数，列出二元一次方程组进行求解.数学思想在方程组中的应用思想方法是解题的钥匙，在解题过程这抓住了数学思想，也就打开解题的思路源泉.下面一起走近方程组中的解题思想.一、整体思想在解决二元一次方程组问题时，有时可根据方程组的特征，采用整体操作的方法进行变形，如整体代入、整体加减等.例1解方程组35()36,34()36.xxyyxy①　②分析：观察方程组中的两个方程第一项未知数的系数相同，相加后都含有x+y，可采用用整体消元法进行消元.解：①+②，得12(x+y)=72，故x+y=6，-5-将x+y=6代入②，得3y24=36,解得y=4；将x+y=6代入①,得3x+30=36,解得x=2，所以方程组的解为.4,2yx二、方程思想有的数学问题，可根据题目的已知条件，构造出二元一次方程，借助于方程组解决问题，这种数学思想就是方程思想.例2已知3xa－by3与2xy3a+b是同类项，求a，b的值.分析：同类项要求相同字母的指数相同，由此可得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到a，b的值.解：根据题意，得1,33abab解这个方程组1,0.ab三、数形结合思想根据图形反映的数量关系建立方程组来解决问题，这种解题方法就体现了数与形的结合.例3商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，如图所示，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是cm．分析：从图示观察可知：三个塑料凳的叠放在一起的高度是29cm，五个塑料凳叠放在一起的高度为35cm，构造方程组求到一个塑料凳的凳面厚度和凳腿高度即可求到10个塑料凳叠放在一起的高度.解：设一个塑料凳的凳面的厚度为xcm，一个凳腿的高度为ycm，根据图示可得355,293yxyx解得20,3yx所以10个塑料凳叠放在一起的高度为3×10+20=50(cm).“二元一次方程”帮你设计方案生活中我们会经常遇到有关方案设计问题，不少同学们总感左右为难，无法求解，为了方便同学们的学习与运用，现用二元一次方程组帮你解决方案设计问题举两例说明.例1星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有-6-可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完.（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？思路点拨：依题意可知有一个等量关系，即2元一杯可乐，奶茶3元一杯奶茶，共20元，由此，我们先引进两个未知数，列出一个二元一次方程，由于这两个未知数均为自然数，所以可直接通过列举法求得购买的方式，进而可以求解第（2）小题.解（1）设买可乐、奶茶分别为x、y杯，则根据题意，得2x+3y＝20，即x＝2032y＝10－32y≥0，因为x、y均为自然数，而由32y可知y必须保证是偶数，还必须满足x为自然数，所以当y＝0时，x＝10；当y＝2时，x＝7；当y＝4时，x＝4；当y＝6时，x＝1，即有四种购买方式：方式一：可乐10杯，奶茶0杯；方式二：可乐7杯，奶茶2杯；方式三：可乐4杯，奶茶4杯；方式四：可乐1杯，奶茶6杯.（2）根据题意，每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y满足不少于2，且x+y满足不少于8，这样由（1）可知，有二种购买方式.评注本题利用二元一次方程整数解的意义，设计方案，这是近年来有关二元一次方程应用的创新题型，同学们在学习量一定要注意把握.例2一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A.4种B.3种C.2种D.1种分析本题中有两个等量关系：一是三种房间和＝7，二是人数和＝20，于是可引进三种未知数，列出两个方程，注意到房间和人数的取值均为正整数，于是消去其中的一个未知数，再围绕二元一次方程的整数解展开讨论.解设准备租二人间x个，三人间y个，四人间z个，则根据题意，得7,23420,xyzxyz消去未知数z，得2x+y＝8，即y＝8－2x，由于x、y、z都是正整数，所以解得2,4,1xyz或3,2,2.xyz即有两种租房方案.故应选C.评注对于三个未知数，只有两个方程，要能顺利求解，只能智取，绝不能强攻，本题-7-中只要先消去未知数z，得出方程2x+y＝8，然后根据x、y、z都是正整数讨论即可获解.下面一道题目供同学们自己练习：2002年世界杯韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格是一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元.某服装公司在促销活动中，组织获得特等奖、一等奖的36名顾客到韩国观看2002年世界杯足球赛四分之一决赛，除去其他费用后，计划买两种门票，用完5025美元，你能设计出几种方案供该服装公司选择？请说明理由.参考答案：购票分三种情况：购一等席、二等席两种门票；购一等席、三等席两种门票；购二等席、三等席两种门票.（1）若购买一等席门票x张，二等席门票y张，则根据题意，得36,3002005025.xyxy解得21.75,57.75.xyx、y均应为正整数，所以此方案不可行.（2）若购买一等席门票x张，三等席门票y张，则根据题意，得36,3001255025.xyxy解得3,33.xy所以可购买一等席门票3张，三等席门票33张.（3）若购买二等席门票x张，三等席门票y张，则根据题意，得36,2001255025.xyxy解得7,29.xy所以可购买二等席门票7张，三等席门票29张.综上所述，共有两种购票方案，分别购一、三等席门票3张、33张，或分别购二、三等门票7张、29张.点拨：解答方案设计题，应先根据题意写出所有可能的方案，然后再从中选择出可行的方案.二元一次方程组的“变脸术”二元一次方程组精通“变脸术”，经常以各种不同的面孔出现在我们面前，但只要同学们熟练掌握了它的概念和解法，就能透过其假“面具