高数导数的概念

第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点导数的实质，用定义求导，链式法则问题的提出导数的定义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系利用导数定义求导数小结第一节导数的概念左、右导数一、引出导数概念的两个实例设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt0tso)(0tf)(tftxyo)(xfyC2.曲线的切线斜率曲线NT0xM在M点处的切线x割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率tan)()(0xfxf0xx切线MT的斜率tanlimlim0xxk)()(0xfxf0xx两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即0xxy)(0xfxyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数..)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx)()(0xfxfy0xxx若上述极限不存在,在点不可导.0x就说函数.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy★★关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或注意:.)()(00xxxfxf★★函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的函数。★导数定义式中的△x必修连续地趋于零。三、由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即例2.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22例3.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12x例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxee例5.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.ln1log1)(logaxexxaa即.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa四、左、右导数2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.★函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.★★左右导数统称为单侧导数★()[,]fxab在闭区间上可导的定义例6.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy五、导数的几何意义与物理意义xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xf若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xfxyo0x例7.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度..lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度..lim)(0dtdqtqtit非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.1111例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:3231x,0xy令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线六、可导与连续的关系证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx.00)('limlimlimlim00000xfxxyxxyyxxxx.)(0连续在点函数xxf定理若y=f(x)在点可导，则y=f(x)在处一定连续.0x0x在点处右导数存在定理2.函数在点必右连续.(左)(左)由定理1和定理2,可得:在闭区间[a,b]上可导注意:可导的条件要比连续强,存在处处连续但是处处不可导的函数.★连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数xfxxfxfxfxy2xy0xy例如,,0,0,)(2xxxxxf.)(0,0的角点为处不可导在xfxx反例:在x=0处连续,但不可导.xyoxy)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数xxfxxfxxfxyxxfxx例如,,1)(3xxf.1处不可导在x31xyxy01.,)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数xxf例如,,0,00,1sin)(xxxxxf.0处不可导在x011/π－1/πxy.)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若xfxxxfxyoxy0xo)(xfy)(xfy七、小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考与练习1.函数在某点处的导数区别:)(xf是函数,)(0xf是数值;联系:0)(xxxf)(0xf注意:有什么区别与联系?])([)(00xfxf？与导函数2.设存在,则.________)()(lim000hxfhxfh3.已知则)(0xf0k4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:)0(f00sinlim0xxx1)0(f00lim0xxaxa故1a时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.作业P861,5,6,11,16,18牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.一、填空题：1、设)(xf在0xx处可导，即)(0xf存在，则_________)()(lim000xxfxxfx,_________)()(lim000xxfxxfx.2、已知物体的运动规律为2ts(米)，则该物体在2t秒时的速度为_______.3、设321)(xxy,221)(xxy,53223)(xxxxy,则它们的导数分别为dxdy1=___________________，dxdy2=_____________，dxdy3=_____________.练习题4、设2)(xxf,则)(xff________________；)(xff_________________.5、曲线xey在点)1,0(处的切线方程为__________________.二、在下列各题中均假定)(0xf存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出A表示什么？1、Axxxfxfxx00)()(lim0；2、Ahhfh)(lim0，其中)0(0)0(ff且存在；3、Ahhxfhxfh)()(lim000.三、证明：若)(xf为偶函数且)0(f存在，则0)0(f.四、设函数0,00,1sin)(xxxxxfk问k满足什么条件