辽宁省五所重点校2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0,ln0pxxx，则p为（）A．0,ln0xxxB．0,ln0xxxC．0000,ln0xxxD．0000,ln0xxx2.设等差数列na的前n项和为nS，已知11329aa，则9S（）A．27B．27C．54D．543.若,abR，则“11ab”是“330abab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线222210,0xyabab的一条渐近线方程为20xy，则该双曲线的离心率是（）A．52B．2C．72D．55.直三棱柱111ABCABC中，90BCA,MN分别是1111,ABAC的中点，1BCCACC，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．3010B．25C．110D．226.已知等比数列na中，22a，则其前三项的和3S的取值范围是（）A．,2B．,01,C．6,D．,26,7.已知变量,xy满足约束条件04xyxyym，若目标函数2zxy的最小值为2，则m（）A．2B．1C．23D．28.60的二面角的棱上有,AB两点，直线,ACBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知468ABACBD，，，则CD的长为（）A．17B．217C．41D．2419.已知不等式222xyaxy对任意1,2,4,5xy恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1,B．6,C．28,D．45,10.设椭圆22:142xyC与函数3yx的图象相交于,AB两点，点P为椭圆C上异于,AB的动点，若直线PA的斜率取值范围是3,1，则直线PB的斜率取值范围是（）A．6,2B．2,6C．11,26D．11,6211.设数列na的前n项和nS，若2222312222244123naaaann，且0na，则100S等于（）A．5048B．5050C．10098D．1010012.已知双曲线2222:10,0yxabab的上焦点为0,0Fcc，M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2222039caxyy相切于点D，且3MFDF，则双曲线的渐近线方程为（）A．20xyB．20xyC．40xyD．40xy第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题2:230pxx，命题:qxa，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14.已知正项等比数列na的公比为2，若224mnaaa，则212mn的最小值等于．15.已知M是抛物线24xy上一点，F为其焦点，点A在圆22:161Cxy上，则MAMF的最小值是．16.如图，在直三棱柱111ABCABC中，1,12BACABACAA，已知G与E分别是棱11AB和1CC的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）.若GDEF，则线段DF的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列na是等比数列，首项11a，公比0q，其前n项和为nS，且113322,,SaSaSa成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足nnnba，求数列nb的前n项和nT.18.在长方体1111ABCDABCD中，11,2ABBCAA，E为1BB中点.（1）证明：1ACDE；（2）求DE与平面1ADE所成角的正弦值.19.已知数列{na满足111,2nnnaaaa，*1111,nnbnnNba.（1）求证：数列11na是等比数列；（2）若数列nb是单调递增数列，求实数的取值范围.20.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD,E为PD中点，2AD.（1）求证：平面AEC平面PCD；（2）若二面角APCE的平面角大小满足2cos4，求四棱锥PABCD的体积.21.已知过抛物线2:20Eypxp的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于112212,,,AxyBxyxx两点，且6AB.（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线12,ll，分别交曲线E于点,CD和,MN.设线段,CDMN的中点分别为,PQ，求证：直线PQ恒过一个定点.22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:116Cxy，点1,0A，点,03Baa，以B为圆心，BA为半径作圆，交圆C于点P，且PBA的平分线交线段CP于点Q.（1）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；（2）已知直线l过点C，且与曲线交于,MN两点，记OCM面积为1S，OCN面积为2S，求12SS的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DACAA6-10:DCBBD11、12：CB二、填空题13.1,14.3415.616.5,15三、解答题17.解：（1）因为113322,,SaSaSa成等差数列，所以3311222SaSaSa，所以31323122SSSSaaa，所以314aa，因为数列na是等比数列，所以23114aqa，又0q，所以12q，所以数列na的通项公式112nna.（2）由（1）知12nnbn，01211222322nnTn，12121222122nnnTnn，所以012112212322122nnnTnnn012122222nnn112212112nnnnn.故121nnTn.18.（1）证明：连接BD∵1111ABCDABCD是长方体，∴1DD平面ABCD又AC平面ABCD，∴1DDAC在长方形ABCD中，ABBC,∴BDAC又1BDDDD,∴AC平面11BBDD而1DE平面11BBDD,∴1ACDE（2）如图，以D为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则11,0,0,0021,1,1,1,1,0ADEB，，,，10,1,1,1,0,2,1,1,1AEADDE设平面1ADE的法向量为,,nxyz，则200xzyz令1z，则2,1,1n∴2112cos,336nDE所以DE与平面1ADE所成角的正弦值为23.19.解（1）因为数列na满足*12nnnaanNa，所以1121nnaa，即112121nnaa，又11a，所以111201a，所以数列11na是以2为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得11121na，所以11111122nnnbnnna，因为1b符合，所以1*12nnbnnN.因为数列nb是单调递增数列，所以1nnbb，即1212nnnn，化为1n，所以2.20.证明：（1）取AD中点为O,BC中点为F,由侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，得PO平面ABCD,故FOPO,又FOAD,则FO平面PAD,∴FOAE,又//CDFO,则CDAE,又E是PD中点，则AEPD,由线面垂直的判定定理知AE平面PCD.又AE平面AEC,故平面AEC平面PCD.（2）如图，以O为坐标原点，以,,OAOFOP所在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则令ABa，则0,0,3,1,0,0,1,,0PACa由（1）知33,0,22EA为平面PCE的法向量，令,,nxyz为平面PAC的法向量，由于1,0,3,2,,0PACAa，故00nPAnCA即130,20,zay解得2,3,3yaz故231,,3na，由212cos44433EAnEAna，解得3a.故四棱锥PABCD的体积11233233ABCDVSPO.21.解：（1）抛物线的焦点,02pF，∴直线AB的方程为：22pyx联立方程组2222ypxpyx，消元得：22204pxpx，∴212122,4pxxpxx∴2221212124346ABxxxxpp，解得2p.∵0p，∴抛物线E的方程为：24yx.（2）设,CD两点坐标分别为1122,,,xyxy，则点P的坐标为1212,22xxyy..由题意可设直线1l的方程为10ykxk.由241yxykx，得2222240kxkxk.24224416160kkk因为直线1l与曲线E于,CD两点，所以1212122442,2xxyykxxkk.所以点P的坐标为2221,kk.由题知，直线2l的斜率为1k，同理可得点Q的坐标为212,2kk.当1k时，有222112kk，此时直线PQ的斜率2222221112PQkkkkkkk.所以，直线PQ的方程为222121kykxkk，整理得230ykxky.于是，直线PQ恒过定点3,0；当1k时，直线PQ的方程为3x，也过点3,0.综上所述，直线PQ恒过定点3,0.22.解：（1）∵,,BABPBQBQPBQABQ,∴QABQPB,∴QAQP,∵CPCQQPQCQA,∴4QCQA,由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以,CA为焦点,24a的椭圆，故点Q的轨迹方程为22143xy.(2)由题可知，设直线:1lxmy，不妨设1122,,,MxyNxy∵1112OMCSSOCy，2212ONCSSOCy，111222ySySyy，∵221143xmyxy，∴2234690mymy，21441440m，∴122122634934myymyym，∵221221244,0343yymyym，即122142,03yyyy，∴1213,3yy，∴11221,33SySy.