MBA数学math-1

2009/09---微积分-----1--2009/09---微积分-----2--第一部分：微积分（一）函数极限连续◇函数概念◇数列极限与函数极限的概念◇极限的四则运算◇无穷小量和无穷大量的概念◇函数连续性一、一元函数微分学☆函数极限连续☆导数与微分2009/09---微积分-----3--1．函数（1）定义式：y=f(x)要点：(ⅰ)定义域(ⅱ)值域(ⅲ)函数关系定义域：①使抽象表达式在实数R范围内有计算意义②自变量与函数应符合实际问题的取值要求（2）表示方法：(ⅰ)公式法(ⅱ)图像法(ⅲ)列表法2009/09---微积分-----4--（3）函数的分类：(ⅰ)基本初等函数：①常数y=c(c为常数)②幂函数y=x（为任意实数）③指数y=ax（a0,a≠1）④对数函数y=logax（a0,a≠1）※熟悉基本初等函数特性、图像形态。(ⅱ)分段函数：(ⅲ)复合函数：(ⅳ)反函数：(ⅴ)隐函数：(ⅵ)初等函数：2009/09---微积分-----5--幂函数指数函数对数函数2009/09---微积分-----6--（4）函数基本性质：(ⅰ)奇偶性(ⅱ)周期性(ⅲ)单调性(ⅳ)有界性注意所指区间，图形对称性质（5）区间：开区间；闭区间；半开区间；无穷区间；（6）邻域：邻域中心；邻域半径；空（去）心邻域2009/09---微积分-----7--的定义域。求例：)23(lg1252xxy例：若等腰三角形周长为20，底边长为y，一腰长为x，求y与x之间的函数关系，并确定定义域。的奇偶性。讨论函数例：)1(lg)(2xxxf例：若f(x)定义域为(0，2)，求f(x2)定义域。2009/09---微积分-----8--例：判断函数y=x3的单调性例：讨论y=1+1/x2的有界性。例：f(x)是偶函数，f(x-2)是奇函数，且f(0)=1998，求f(2008)。例：设与g(x)图形关于直线y=x对称，求g(x)。xxxf11)(2009/09---微积分-----9--)].([,0103)(,11)(2xgfxxxxxgxxxexfx求例：设32)2()ln1()1(2xeyxy例：找函数复合关系。2009/09---微积分-----10--复习思考题：1．函数的概念是什么？有哪些表示方法？2．怎样确定函数定义域？3．什么样函数被称为基本初等函数？初等函数是如何形成的？4．函数的主要性质有哪些？5．区间有哪些表示方法？怎样理解邻域概念？2009/09---微积分-----11--2．数列极限与函数极限的概念（1）数列：依一定次序排列的一列数称为数列。{an}：a1,a2,······,an···an——通项，an=f(n)——通项公式※研究数的变化规律等差数列：当n≥2，an－an-1=d，sn=(a1+an)n/2等比数列：当n≥2，an/an-1=q，sn=a1(1-qn)/(1-q)（2）数列极限：当n→∞，an→a，则称数列{an}以常数a为极限。记为aannlim※极限唯一性：若存在，则极限值唯一。2009/09---微积分-----12--（3）函数极限：Axfx)(lim当x→∞时的极限：若当|x|→∞时，f(x)的函数值无限趋近于A。当x→x0时的极限：若当x→x0时，f(x)的函数值无限趋近于A。记为：Axfxx)(lim0记为：0000(0)lim(),(0)lim()xxxxfxfxAfxfxA※左右极限概念的理解：2009/09---微积分-----13--.)0()0()(lim0AxfxfAxfxx成立的充要条件是定理：※要点理解：1．当xx0时函数f(x)的极限与在x0处是否有定义无关；2．有极限则须有x从x0左右不论以任何方式趋近时，极限都相同；3．不总成立；4．xx0表示x无限趋近x0；5．极限未定式：)()(lim00xfxfxx000,,1,,0,,002009/09---微积分-----14--nnnnnnnnnnnn(-1)lim)6(21lim)5(3lim)4(21lim)3()11(lim)2(1nlim)1(2n例：xxexeexxxxxxxxxx||lim)6(lim)5(3lim)4(3)(lim)3(3)(lim)2(1lim)1(0110例：2009/09---微积分-----15--3．极限四则运算法则1lim1nnen若当x→x0（或x→∞），limf(x)=A，limg(x)=B，则（1）和差：lim[f(x)±g(x)]=A±B，（2）积：lim[f(x)·g(x)]=A·B，（3）商：若B≠0，则lim[f(x)/g(x)]=A/B，※重要极限：101lim1lim1xxxxxex※推广：※无理数e=2.71828······2009/09---微积分-----16--22221222312220223(1)lim(342)(2)lim3-1252(3)lim(4)lim1413(5)lim()(6)lim(1)1112-1(7)lim()(8)lim12xnxxxnxnxnnxxnnxxxxxnnxxnxnnn例：2009/09---微积分-----17--nnxxxxxnxxxxx)211(lim)4()21(lim)3()11(lim)2()31(lim)1(302212例：例：设x*，u(x)0，v(x)，且u(x)·v(x)A，那么，[1+u(x)]v(x)eAxxxxxxxxxxxxxaaxaxxe)111(lim)5()93(lim)4(9)(lim)3()2-11(lim)2(11lim)1(21210值。求，例：2009/09---微积分-----18--4．无穷小量与无穷大量（1），称f(x)在x→*（x→x0或x→∞）为无穷小量。（2）当x→x0（或x→∞）时，|f(x)|无限增大，则称f(x)当x→x0（或x→∞）时为无穷大量。记为f(x)=∞0)(lim*xfx性质：1）有限个无穷小量之和差仍是无穷小量2）有限个无穷小量之积，无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量。3）无穷大量倒数为无穷小量2009/09---微积分-----19--无穷小量比较设x*，(x)0，(x)0，定义是同阶无穷小量与称是等价无穷小量，记作与称高阶无穷小量，记作比称，)()(),0()()()3()(~)()()x(,1)()((2))()()()(0)()()1(xxccxxxxxxxxoxxxxx※极限计算中等价无穷小量可以整体替换：设x*，(x)~1(x)，(x)~1(x)，)()(lim)()(lim11**xxxxxx2009/09---微积分-----20--几个等价无穷小：x0，x～ex-1～ln(1+x)；(1+x)1/n-1～x/n，n=2,3,···例11lim)2()31(ln1lim)1(3-2002xeexxexxxxx20)1(lnlimxxxx※注意：，ln(1+x)不能用x代换。2009/09---微积分-----21--复习思考题：1．极限的概念是要揭示什么现象的？2．数列的极限与函数的极限有什么区别和联系？3．极限的基本运算法则有哪些？4．什么是无穷小量与无穷大量？如何进行无穷小量比较？5．什么是未定式？如何处理未定式？2009/09---微积分-----22--5．函数连续性◇函数连续与间断的概念◇连续函数函数连续：若，则称f(x)在点x0处连续，否则称间断。00limxfxfxx※连续函数：若f(x)在（a,b）内每一点都连续，则称f(x)在（a,b）上是连续函数。※——左右连续，判断※间断点分类：第一类间断点；第二类间断点f(x0-0)≠f(x0+0)——跳跃间断点；f(x0-0)=f(x0+0)≠f(x0)（或在x0无定义）——可去间断点-+000limlimxxxxfxfxfx2009/09---微积分-----23--闭区间上[a，b]连续函数f(x)性质：1．最值定理：必然存在最大值和最小值；2．介值定理：必然存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=μ位于f(a)与f(b)之间；推论：若最大值最小值分别为M、m，则对于mcM，存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=c；3．零值定理：若f(a)与f(b)异号，则必然存在ξ∈[a，b]，使得位于f(ξ)=0。4．连续函数的四则运算，连续函数复合函数仍是连续函数。5．若f(x)在x0处连续，则※初等函数在其定义区间内都连续)()lim()(lim000xfxfxfxxxx2009/09---微积分-----24--复习思考题：1．函数在某一点处连续是怎样定义的？2．连续函数的图像有什么特点？3．函数间断点的种类有哪些？怎样定义的？4．初等函数的连续性是怎样的？5．怎样理解“函数连续”和“连续函数”？6．怎样理解连续函数的性质？2009/09---微积分-----25--（二）导数与微分◇导数的概念◇导数的意义◇函数的可导性与连续性的关系◇基本初等函数的导数公式◇导数的四则运算◇复合函数的导数◇二阶导数的概念及计算◇导数的应用◇微分的概念及微分的应用2009/09---微积分-----26--1．导数的概念：函数的导数：研究函数f(x)在点x0处随x变化快慢程度。※导函数f'(x)例：y=f(x)=x2，求f'(0)定义：设y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果存在，则称函数在点x0处可导。并称此极限值为f(x)在x0处的导数。记作y'|x0或或其中，⊿y=f(x)－f(x0)=f(x0+⊿x)－f(x0)0xf0ddyxx0limxyx2009/09---微积分-----27--左右导数：000000-)()(lim)()(lim)(-0-xxxfxfxxfxxfxfxxx左导数：000000)()(lim)()(lim)(0xxxfxfxxfxxfxfxxx右导数：2009/09---微积分-----28--xf(x)2009/09---微积分-----29--2．导数意义（1）几何意义（2）物理意义（3）经济意义3．可导与连续关系定理：若y=f(x)在点x0处可导，则y=f(x)在点x0处连续。※可导必连续，连续未必可导2009/09---微积分-----30--4．基本初等函数的导数公式（1）常数:(c)'=0（2）幂函数:(xμ)'=μxμ-1（μ为常数）（3）指数函数：(ax)'=(lna)(ax)(a0，a≠1)(ex)'=ex（4）对数函数：(logax)'=(a0，a≠1)(lnx)'=axln1x12009/09---微积分-----31--5．导数的四则运算设u=u(x)，v=v(x)可导，则（1）和差：[u±v]'=u'±v'◇推广：[u1±u2±···±un]'=u1'±u2'±···±un'（2）积：[u·v]'=u'v+uv'◇推广：[u1·u2···un]'=u1'·u2···un+u1u2'·u3···un+···+u1·u2···un'（3）商：'2'',(0)uuvuvvvv2009/09---微积分-----32--6．复合函数的导数设y=f((x))，若u=(x)在x0处可导，y=f(u)在u0=(x0)处可导，则)(')('dddd)('00000xufxuuyxyxu例：设y=f(x2