选修2-1双曲线的几何性质课时作业

课时作业12双曲线的几何性质时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是()A.x23－y2＝1和x29－y23＝1B.x23－y2＝1和x2－y23＝1C．y2－x23＝1和x2－y23＝1D.x23－y2＝1和y23－x29＝1【答案】A【解析】A中离心率都为233，渐近线都为y＝±33x.2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1【答案】A【解析】根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.①又双曲线渐近线方程为y＝±bax，且P(2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝25，b＝5，故应选A.3．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为()A．y＝±54xB．y＝±45xC．y＝±43xD．y＝±34x【答案】D【解析】∵ca＝53，∴c2a2＝a2＋b2a2＝259，∴b2a2＝169，∴ba＝43，∴ab＝34，∴它的渐近线方程为y＝±abx＝±34x.4．F1，F2是双曲线C的两个焦点，P是双曲线右支上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A．1＋2B．2＋2C．3－2D．3＋2【答案】A【解析】由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|＝|PF2|，即2c＝b2a，从而得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解之得e＝1±2，∵e1，∴e＝1＋2.5．(2014·全国新课标Ⅰ理)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m【答案】A【解析】本题考查了双曲线的几何性质和点到直线的距离．由已知可得c＝3m＋3，不妨设焦点坐标为F(3m＋3，0)，双曲线渐近线方程设为x＋my＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3m＋3|1＋m＝3.解决本题要首先将方程化为标准方程后得到c以及双曲线的渐近线方程，同时要注意条件m0.6．设F1、F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1→＋PF2→|等于()A．25B.5C．210D.10【答案】C【解析】由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为F1(－10，0)、F2(10，0)．设点P(x，y)，则PF1→＝(－10－x，－y)，PF2→＝(10－x，－y)，∵PF1→·PF2→＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10，∴|PF1→＋PF2→|＝|PF1→|2＋|PF2→|2＋2PF1→·PF2→＝2x2＋y2＋20＝210.二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2014·北京理)设双曲线C经过点(2,2)，且与y24－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为____________；渐近线方程为____________．【答案】x23－y212＝1y＝±2x【解析】本题考查了双曲线的方程和双曲线的性质．双曲线y24－x2＝1的渐近线为y＝±2x，故C的渐近线为y＝±2x，设C：y24－x2＝m，并将点(2,2)代入C的方程，解得m＝－3，故C的方程为y24－x2＝－3，即x23－y212＝1.∴渐近线方程为y＝±2x.8．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→·PF2→＝________.【答案】0【解析】∵y＝x为渐近线，∴b2＝2，即双曲线方程为x2－y2＝2.当x＝3时，y20＝1，∴双曲线的半焦距为2，∴PF1→·PF2→＝(－2－3，－y0)·(2－3，－y0)＝－1＋y20＝－1＋1＝0.9．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．【答案】2【解析】设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为2a4＝a2，所以离心率的比值e1e2＝ca2ca＝2.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．【解析】(1)因为e＝2，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)易知F1(－23，0)，F2(23，0)，所以kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，所以kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23，因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，所以m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.(3)在△F1MF2中，底|F1F2|＝43，F1F2上的高h＝|m|＝3，所以S△F1MF2＝12|F1F2|·|m|＝6.11．(13分)斜率为2的直线l的双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，求直线l的方程．【分析】已知直线l的斜率为2，求直线l的方程，可设直线l的方程为y＝2x＋m，然后利用弦长为4，求出m即可．【解析】设直线l的方程为y＝2x＋m，由y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．又∵|AB|＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16，即3m2＝70.∴m＝±2103.∴直线l的方程为y＝2x±2103.12．(14分)如图所示，已知双曲线的方程为x2－y22＝1，是否存在被点(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【分析】易知点B(1,1)在双曲线外部，不妨假定符合题意的直线存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左、右两支上，其所在直线的倾斜角也不可能是90°.【解析】方法一：不存在．理由如下：假设存在被B(1,1)平分的弦，且该弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－y22＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)0，解得k32.∵B(1,1)是弦的中点，且x1＋x2＝2kk－1k2－2，∴kk－1k2－2＝1，∴k＝232.∴假设不成立．∴不存在被点B(1,1)平分的弦．方法二：不存在．理由如下：假设存在被点B(1,1)平分的弦，该弦为MN，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且x21－y212＝1，①x22－y222＝1.②①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴kMN＝y1－y2x1－x2＝2，∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由y＝2x－1，x2－y22＝1，得2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝(－4)2－4×2×3＝－80.∴假设不成立，直线MN与双曲线不相交．∴不存在被点B平分的弦．【总结】(1)用“设而不求”法解决中点弦问题．过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使已知点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定．要注意检验．(2)处理直线与圆锥曲线有关的相交弦问题，利用韦达定理、点差法的过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验．