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课时作业6命题的四种形式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若x2＝1，则x＝1的否命题为()A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1【答案】C【解析】一个命题的否命题，既否定条件，又否定结论，而一个命题的否定形式，只否定结论，不否定条件．2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题【答案】D【解析】∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．3．与命题“若a∈A，则b∉A”等价的命题为()A．a∈A或b∉AB．若b∉A，则a∉AC．若a∉A，则b∈AD．若b∈A，则a∉A【答案】D【解析】根据四种命题间的相互关系，原命题与逆否命题等价，故选D.4．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4【答案】C【解析】本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．5．a、b、c是三条直线，α、β是两个平面，b⊂α，c⊄α，则下列命题不成立的是()A．若α∥β，c⊥α，则c⊥bB．“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题C．若a是c在α内的射影，b⊥a，则c⊥bD．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题【答案】B【解析】选项B的逆命题为“若α⊥β，则b⊥β”，又知b⊂α，故直线b与平面β还可以平行或斜交，故逆命题不正确，故选B.6．有下列三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；(2)“若mn，则m2n2”的逆否命题；(3)“若y≤－3，则y2－y－60”的否命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0，这是真命题；(2)若m2≤n2，则m≤n，这是假命题；(3)若y－3，则y2－y－6≤0，这是假命题．二、填空题(每小题10分，共30分)7．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．【答案】a、b都不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，即假设的内容应当是“a、b都不能被5”整除．8．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．【答案】假【解析】假如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．9．下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则B⊆A”的逆否命题．其中真命题的序号为________．【答案】①③【解析】由倒数的定义知①正确；②的否命题为“不相似的三角形的周长不相等”，显然错误；③当b≤－1时，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥40，∴方程有实根，∴原命题为真，根据原命题与逆否命题真假相同，知③正确；④∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴原命题为假，根据原命题与逆否命题真假相同，知④错误．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；(2)若a＝2，则函数y＝ax是增函数．【分析】依据四种命题的定义写出逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．【解析】(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)(2)逆命题：若函数y＝ax是增函数，则a＝2；(假)否命题：若a≠2，则函数y＝ax不是增函数；(假)逆否命题：若函数y＝ax不是增函数，则a≠2.(真)11．(13分)写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．(1)若m0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根．(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数．(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.【解析】(1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)命题的否定：若m0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)(2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数．(假命题)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数．(真命题)(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为0.(真命题)命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为0.(假命题)12．(14分)判断命题“若m≥－13，则关于x的方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【分析】可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解．【解析】解法1：因为m≥－13，所以12m＋4≥0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4≥0.所以原命题“若m≥－13，则x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m≥－13，则x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．解法2：原命题“若m≥－13，则x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为“若x2＋2x－3m＝0无实数根，则m－13”．因为x2＋2x－3m＝0无实数根，所以Δ＝12m＋40，所以m－13.所以“若x2＋2x－3m＝0无实数根，则m－13”为真．解法3：设p：m≥－13，q：x2＋2x－3m＝0有实数根．非p：m－13，非q：x2＋2x－3m＝0无实数根．设非p：A＝{m|m－13}，非q：B＝{m|方程x2＋2x－3m＝0无实数根}＝{m|m－13}．因此B＝A，所以“若非q，则非p”为真，即“若方程x2＋2x－3m＝0无实根，则m－13”为真．