2019高考数学一轮复习-第8章-立体几何-第9课时-二面角-理

第9课时二面角授人以渔题型一定义法求二面角(1)(2018·台州一模)在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B－AD－C，若此时BC＝12a，则二面角B－AD－C的大小为________．【解析】在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B－AD－C，如题图所示，由二面角定义知，∠BDC为所求二面角B－AD－C的平面角，又BC＝BD＝DC＝12a，∴△BDC为等边三角形，∴∠BDC＝π3，∴二面角B－AD－C的大小为π3.【答案】π3(2)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．【解析】如图所示，过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由线面垂直判定定理可知l⊥平面ACD，则l⊥AD，故∠ADC为二面角α－l－β的平面角，即∠ADC＝60°.又∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin∠ABC＝ACAB＝34.【答案】34(3)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径．当三棱锥P－ABC的体积最大时，设二面角P－AB－C的大小为θ，则sinθ＝()A.23B.53C.63D.73【解析】设球的半径为R，由4πR2＝16π，得R＝2，设点P到平面ABC的距离为d，则0d≤2.因为AC为球O的直径，所以AB2＋BC2＝AC2＝16.VP－ABC＝16AB·BC·d≤16·AB2＋BC22·2＝83，当且仅当AB＝BC＝22，d＝2时，VP－ABC取得最大值，此时平面PAC⊥平面ABC.如图，过点P作PD⊥AB于点D，连接OD，易知PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，所以AB⊥平面POD，则AB⊥OD，所以∠PDO为二面角P－AB－C的平面角．又OD＝12BC＝2，PD＝PO2＋OD2＝6，则sinθ＝sin∠PDO＝POPD＝63，故选C.【答案】C★状元笔记★如果由已知易作出二面角的平面角，则可采取定义法求解，其步骤是：作→证→求→答．思考题1(1)如图，四面体A－BCD的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，设二面角A－BC－D的大小为θ，则sin2θ＝________．【解析】设BD中点为E，则由侧视图知面ABD⊥面BCD，∴AE⊥平面BCD，由E作EO⊥BC于O，连OA，则∠AOE为二面角A－BC－D的平面角．由侧视图知，AE＝3，又BE＝1，△OEB为等腰直角三角形，∴OE＝22，∴tanθ＝tan∠AOE＝AEOE＝6，∴sin2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝267.【答案】267(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E－BC－F的余弦值为()A.721B.74C.32D.34【解析】如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BF＝CF＝2，∴PF⊥BC，又EB＝EC，∴EP⊥BC，∴∠EPF为二面角E－BC－F的平面角，而FP＝FB2－（12BC）2＝72，在△EPF中，cos∠EPF＝EP2＋FP2－EF22EP·FP＝4＋74－942×2×72＝74.【答案】B(3)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P－AC－B的正切值是________．【解析】取AC的中点D，连接OD，PD，则OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO是二面角P－AC－B的平面角．∴PA＝AB＝2，AC＝BC，∴PO＝3，OD＝22，∴二面角P－AC－B的正切值是POOD＝6.【答案】6题型二向量法求二面角(1)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为________．【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件得A(1，0，0)，E(1，1，13)，F(0，1，23)，AE→＝(0，1，13)，AF→＝(－1，1，23)，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的锐二面角为θ，由图知θ为锐角，由n·AE→＝0，n·AF→＝0，得y＋13z＝0，－x＋y＋23z＝0.令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)，平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，cosθ＝|cosn，m|＝31111，tanθ＝23.【答案】23(2)(2018·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°【解析】由条件，知CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→，∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝(217)2，∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，〈CA→，BD→〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.【答案】C★状元笔记★二面角的平面角实质上就是两个向量的夹角！这两个向量的起点都在棱上，且分别在两个半平面内垂直于棱！思考题2(1)设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α和β所成的锐二面角的余弦值为23，则k＝________．【解析】设α，β所成锐二面角为θ，则|cosθ|＝23，∴|n1·n2||n1|·|n2|＝23.∴|－2k－10|3·20＋k2＝23，∴k＝－12.【答案】－12(2)(2018·辽宁丹东模拟)如图，正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值是()A.13B.33C.12D.22【解析】∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，如图，连接A1C交BD于O，则AO⊥BD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O－xyz.设正方形的棱长为1，则O(0，0，0)，A(0，0，22)，C(22，0，0)，B(0，－22，0)，D(0，22，0)，AC→＝(22，0，－22)，BC→＝(22，22，0)，CD→＝(－22，22，0)，则OA→＝(0，0，22)是平面BCD的一个法向量．设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，则n·CD→＝0，n·AC→＝0，即－22x＋22y＝0，22x－22z＝0，即y＝x，z＝x，令x＝1，则y＝1，z＝1，即n＝(1，1，1)．从而|cos〈n，OA→〉|＝|n·OA→||n||OA→|＝|22|3×22＝33，所以二面角A－CD－B的余弦值为33.【答案】B(3)(2018·广东中山模拟)在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝22，M，N分别为AD和BC的中点，沿MN把平面ABNM折起，若折起后|AC|＝6，则二面角A－MN－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图：∵AC→＝AM→＋MD→＋DC→，∴AC→2＝AM→2＋MD→2＋DC→2＋2AM→·MD→＋2AM→·DC→＋2MD→·DC→，∴6＝2＋2＋4－2MA→·MD→＋0＋0.∴MA→·MD→＝1.∴2·2·cos〈MA→，MD→〉＝1.∴cos〈MA→，MD→〉＝12.∴MA→和MD→的夹角为60°，选C.【答案】C(2018·安徽师大附中模拟)已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB⊥AD，且AB＝BC＝1，AD＝2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PA⊥PD.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)若直线AC与PD所成角为60°，求二面角A－PC－D的余弦值．【解析】(1)∵PH⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PH⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PH＝H，AD，PH⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.(2)以A为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图，∵PH⊥平面ABCD，∴z轴∥PH.则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，设AH＝a，PH＝h(0a2，h0)．则P(0，a，h)．∴AP→＝(0，a，h)，DP→＝(0，a－2，h)，AC→＝(1，1，0)．∵PA⊥PD，∴AP→·DP→＝a(a－2)＋h2＝0.∵AC与PD所成角为60°，∴|cos〈AC→，DP→〉|＝|a－2|2·（a－2）2＋h2＝12，∴(a－2)2＝h2，∴(a－2)(a－1)＝0，∵0a2，∴a＝1.∵h0，∴h＝1，∴P(0，1，1)．∴AP→＝(0，1，1)，AC→＝(1，1，0)，PC→＝(1，0，－1)，DC→＝(1，－1，0)，设平面APC的法向量为n＝(x，y，z)，由n·AP→＝y＋z＝0，n·AC→＝x＋y＝0，得平面APC的一个法向量为n＝(1，－1，1)，设平面DPC的法向量为m＝(x，y，z)．由m·PC→＝x－z＝0，m·DC→＝x－y＝0，得平面DPC的一个法向量为m＝(1，1，1)．∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝13.∵二面角A－PC－D的平面角为钝角，∴二面角A－PC－D的余弦值为－13.【答案】(1)见解析(2)－13★状元笔记★利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．思考题3如图，在四棱锥A－EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．(1)求证：AO⊥BE；(2)求二面角F－AE－B的余弦值；(3)若BE⊥平面AOC，求a的值．【解析】(1)因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面EFCB，所以AO⊥BE.(2)取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB，又OG⊂平面EFCB，所以OA⊥OG.如图建立空间直角坐标系O－xyz，则E(a，0，0)，A(0，0，3a)，B(2，3(2－a)，0)，EA→＝(－a，0，3a)，BE→＝(a－2，3(a－2)，0)．设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·EA→＝0，n·BE→＝0，可得－ax＋3az＝0，（a－2）x＋3（a－2）y＝0.令z＝1，则x＝3，y＝－1.于是n＝(3，－1，1)．平面AEF的法向量为p＝(0，1，0)．所以cosn，p＝n·p|n||p|＝－55.由题知二面角F－AE－B为钝角，所以它的余弦值为－55.(3)因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即BE→·OC→＝0.因为BE→＝(a－2，3(a－2)，0)，OC→＝(－2，3(2－a)，0)，所以BE→·OC→＝－2(a－2)－3(a－2)2.由BE→·OC→＝0及0a2，解得a＝43.【答案】(1)略(2)－55(3)a＝43(2018·甘肃兰州诊断)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP，E为棱PD的中点．(