选修2-1直线与圆锥曲线课时作业

课时作业15直线与圆锥曲线时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．过点P(3,1)作直线l，若l与双曲线x29－y2＝1只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由数形结合可得：一条平行于渐近线，方程为x＋3y－6＝0，一条为切线，方程为x＝3.2．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则|AB|的值为()A.837B.163C.83D.1637【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的焦点F为(1,0)，过F且倾斜角为π3的直线方程为y＝3(x－1)，联立得方程组y＝3x－1y2＝4x得关于x的一元二次方程3x2－10x＋3＝0.①设交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点．则x1、x2是①的两根．有x1＋x2＝103.|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝103＋2＝163.故选B.3．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且直线l经过抛物线的焦点F及A(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离为()A.254B.252C.258D．25【答案】A【解析】抛物线的焦点为F(2,0)，则直线l的方程为y＝43(x－2)．由y＝43x－2，y2＝8x，解得B(12，－2)．∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋12＝252，∴线段AB的中点到准线的距离为254.4．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y204x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C()A．恰有一个公共点B．恰有两个公共点C．可能有一个公共点也可能有两个公共点D．没有公共点【答案】D【解析】抛物线C与直线l联立，得y0y＝2(y24＋x0)，即y2－2y0y＋4x0＝0，Δ＝4y20－16x0.由题意得y204x0，∴Δ0，没有公共点，故选D.5．若直线y＝x＋t与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.8105【答案】C【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x＋t，x24＋y2＝1，得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，∴Δ＝(8t)2－20(4t2－4)＝－16t2＋800，∴－5t5，此时|AB|＝2|x1－x2|＝2x1＋x22－4x1x2＝25·－16t2＋80，当t＝0时，|AB|max＝1605＝4105.6．若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM＝()A．－c2a2B．－b2a2C．－c2b2D．－a2b2【答案】B【解析】本题可用特殊值法．不妨取弦AB为椭圆的短轴，M为椭圆的右顶点，则A(0，b)，B(0，－b)，M(a,0)，所以kAM·kBM＝0－ba－0·0＋ba－0＝－b2a2.二、填空题(每小题10分，共30分)7．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．【答案】2x－y－15＝0【解析】设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21－4y21＝4，x22－4y22＝4，两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵AB的中点为P(8,1)，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴y1－y2x1－x2＝2，∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0.8．已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．【答案】2【解析】把抛物线方程改写为x2＝1a(y＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点，∴1a＝4，∴抛物线x2＝4(y＋1)与x轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为12×4×1＝2.9．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．【答案】9【解析】如图，设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，得|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P，F′，A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋9＋16＝4＋5＝9.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．【解析】(1)a＝2，e＝ca＝22，c＝2，b＝2.椭圆C：x24＋y22＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由y＝kx－1，x24＋y22＝1，消y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.∵直线y＝k(x－1)过椭圆内点(1,0)，∴Δ0恒成立，由根与系数的关系得x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，S△AMN＝12×1×|y1－y2|＝12×|kx1－kx2|＝|k|2x1＋x22－4x1x2＝|k|216＋24k21＋2k2＝103.即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.11．(13分)已知双曲线x2－y23＝1，双曲线上存在关于直线y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．【分析】关于直线的对称点与中点和斜率有关，可以利用韦达定理求解，也可以使用点差法求解．【解析】设双曲线上关于直线l的对称点为A、B，当k＝0时，显然不成立．∴当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－1kx＋b，代入x2－y23＝1中，得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.显然3k2－1≠0，∴Δ＝(2kb)2－4(3k2－1)[－(b2＋3)k2]0，即k2b2＋3k2－10.①由根与系数的关系，得AB的中点M(x0，y0)的坐标为x0＝－kb3k2－1，y0＝3k2b3k2－1.∵M(x0，y0)在直线l上，∴3k2b3k2－1＝－k2b3k2－1＋4，即k2b＝3k2－1.②把②代入①得k2b2＋k2b0，解得b0或b－1.∴3k2－1k20或3k2－1k2－1，即|k|33或|k|12，且k≠0.∴k的取值范围是(－∞，－33)∪(－12，0)∪(0，12)∪(33，＋∞)．【总结】双曲线上并非对任何一条直线都存在着两个对称点，这也可从图形上观察到，求解的关键是将直线看做是以对称点为端点的线段的中垂线，从而进行参数的转化，并由方程的思想求其范围．12．(14分)直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点，求：(1)k的取值范围；(2)是否存在k值，使l在y轴上的截距为1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】利用题设条件，把“形”的关系转化为“数”来表达．对存在性问题，常常先假设存在，再进一步说明．【解析】(1)由方程组y＝kx＋1，x2－y2＝1，得(1－k2)x2－2kx－2＝0.设直线与双曲线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知Δ0，x1＋x2＝2k1－k20，x1x2＝－21－k20，解得1k2.(2)设线段AB的中点M，则点M的坐标为(k1－k2，11－k2)．假设存在直线l：x＋2＝my，则M在直线l上，故k1－k2＋2＝m·11－k2，即m＝2＋k－2k2，代入x＋2＝my，得x＋2＝(2＋k－2k2)y.令x＝0，则y＝22＋k－2k2＝1，解得k＝0或k＝12，而k∈(1，2)，故k不存在．【总结】在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，要充分注意相交的条件是二次项系数不为0且Δ0，求得参数的值必须满足上述条件，所以求得值后，要验证，以防产生增根．