选修2-1抛物线的几何性质课时作业

课时作业14抛物线的几何性质时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若抛物线y2＝2px(p0)上横坐标为6的点P到焦点F的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4B．8C．16D．32【答案】B【解析】由于P到F的距离等于P到准线的距离，且等于10，所以y轴与准线间的距离为10－6＝4，即p2＝4，故p＝8.2．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.12B．1C．2D．4【答案】C【解析】抛物线y2＝2px(p0)的准线方程是x＝－p2，由题意知，3＋p2＝4，p＝2.3．(2014·全国卷新课标Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94【答案】D【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，两点间距离公式等基础知识．解法一：由题意可知：直线AB的方程为y＝33(x－34)，代入抛物线的方程可得：4y2－123y－9＝0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则所求三角形的面积为12×34×y1＋y22－4y1y2＝94，故选D.解法二：设点A、B分别在第一和第四象限，AF＝2m，BF＝2n，则由抛物线的定义和直角2m＝2×34＋3m,2n＝2×34－3n，解得m＝32(2＋3)，n＝32(2－3)，∴m＋n＝6.∴S△OAB＝12·34·(m＋n)＝94.故选D.4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－12，12]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]【答案】C【解析】由题意可知，y2＝8x的准线为x＝－2，所以Q点的坐标为(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)(斜率显然存在)，联立y＝kx＋2y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，所以k＝0时，直线与抛物线的交点为(0,0)时，k≠0，Δ＝[4(k2－2)]2－4×(4k2)×k2≥0⇒－1≤k≤1，且k≠0，综上可知－1≤k≤1，应选C.5．抛物线y＝4x2上的点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标是()A．(0,0)B．(1,4)C．(12，1)D．以上都不对【答案】C【解析】设与直线y＝4x－5平行且与抛物线y＝4x2相切的直线方程为y＝4x＋m，则由y＝4x＋m，y＝4x2，消去y，得4x2－4x－m＝0，Δ＝42＋4×4m＝0，∴m＝－1，将m＝－1代入方程组，解得x＝12，y＝1.故所求点的坐标为(12，1)．6．若抛物线y2＝2px(p0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点的焦半径的关系是()A．成等差数列B．既成等差数列，又成等比数列C．成等比数列D．既不成等差数列，又不成等比数列【答案】A【解析】设三点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，由三点在抛物线上，则y21＝2px1，y22＝2px2，y23＝2px3.由题意y22－y21＝y23－y22，三个焦半径x1＋p2，x2＋p2，x3＋p2，满足(x2＋p2)－(x1＋p2)＝y222p－y212p＝12p(y22－y21)，(x3＋p2)－(x2＋p2)＝y232p－y222p＝12p(y23－y22)．∴(x2＋p2)－(x1＋p2)＝(x3＋p2)－(x2＋p2)．∴三个焦半径成等差数列．由x1、x2、x3不全为0，∴不能成等比数列．二、填空题(每小题10分，共30分)7．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点F到AB的距离为________．【答案】2【解析】如图所示，由于|AB|＝43，∴yA＝23，代入抛物线的方程，得x＝3，即xM＝3.由抛物线的方程y2＝4x，知F(1,0)．∴焦点F到AB的距离为2.8．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．【答案】(2,0)【解析】直线x＋2＝0即x＝－2是抛物线y2＝8x的准线，由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的准线的距离，即动圆的半径等于圆心到抛物线y2＝8x的焦点的距离．故动圆必过抛物线的焦点(2,0)．9．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm，灯深为40cm，则光源到反射镜顶点的距离是________．【答案】5.625cm【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，∵灯口直径|AB|＝60，灯深|OC|＝40，∴点A的坐标为(40,30)．设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则900＝2p×40，解得p＝908＝454，∴焦点F与抛物线顶点，即光源与反射镜顶点的距离为458＝5.625(cm)．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知直线l过点A(－3p2，p)且与抛物线y2＝2px(p0)只有一个公共点，求直线l的方程．【解析】(1)当直线l与抛物线相切时，设直线l的方程为y－p＝k(x＋3p2)，∴联立y－p＝kx＋3p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0.由Δ＝0，得k＝13或k＝－1.∴直线l的方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0.(2)当直线l与x轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，此时y＝p.故满足条件的直线l有三条，它们的方程是2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0或y＝p.【总结】注意两个问题：一是不要遗漏了直线的斜率不存在的情况，只考虑了斜率存在的情况；二是方程组消元后的方程不要只认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零时一次方程的解也符合题意．11．(13分)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被点Q平分.(1)求弦AB所在直线的方程；(2)求弦AB的长．【解析】(1)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝8x1①；y22＝8x2②，x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝y1－y2x1－x2，也即k＝4.故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.(2)设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.由y2＝8x，y＝kx－4＋1，消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝8k，y1y2＝－32k＋8k＝8k－32.因此，|AB|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.结合(1)可知k＝4.故|AB|＝5272.12．(14分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证OA⊥OB；(2)当△AOB的面积等于10时，求k的值．【解析】(1)证明：如图所示，由方程组y2＝－xy＝kx＋1消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以y21＝－x1，y22＝－x2，y21y22＝x1x2，因为kOA·kOB＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2＝1y1y2＝－1，所以OA⊥OB.(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|＝12|ON||y1－y2|，所以S△OAB＝12×1×y1＋y22－4y1y2＝121k2＋4，因为S△OAB＝10，所以10＝121k2＋4，解得k＝±16.