选修2-1空间向量的基本定理课时作业

课时作业17空间向量的基本定理时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb【答案】C【解析】由零向量定义知选C.2．a＝xb是向量a，b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a＝xb可得a，b共线，而由a，b共线不能得出a＝xb，如b＝0，a≠0.3．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量【答案】A【解析】2a－b由a与b线性表示出，所以三向量共面．4．若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为()A.185，910，－12B．－185，910，－12C.185，－910，－12D．－185，－910，12【答案】A【解析】由题意，有α＋β＋γ＝4α＋β－3γ＝63α－2β＋2γ＝8解得α＝185β＝910γ＝－12.5．下列条件使M与A、B、C一定共面的是()A.OM→＝2OA→－OB→＋OC→B.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0C.DM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→D.MA→＋MB→＋MC→＝0【答案】D【解析】由MA→＋MB→＋MC→＝0得MA→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面，∴M，A，B，C四点共面．故选D.6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A.23B.13C．－13D．－23【答案】A【解析】如图所示，CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.二、填空题(每小题10分，共30分)7．给出下列几个命题：①a＝“从上海往正北平移9km”，b＝“从北京往正北平移3km”，那么a＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB→＋CA→＝2a，则C∈l.其中正确的命题是________．【答案】①②③【解析】①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为AB→＋CA→＝CA→＋AB→＝CB→＝2a，所以CB→与l平行，又B在l上，所以C∈l.8．已知空间四边形OABC，如图所示，M是AB的中点，N是CM的中点，用基底{a，b，c}表示ON→，则ON→＝________.【答案】14a＋14b＋12c【解析】ON→＝OM→＋MN→＝12(OA→＋OB→)＋12MC→＝12(a＋b)＋12×12(AC→＋BC→)＝12(a＋b)＋14(c－a＋c－b)＝14a＋14b＋12c.9．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝________.【答案】－4【解析】∵n＝(x＋2)a＋(y－x)b－(y＋2)c，∴x＋23＝y－x2＝－(y＋2)，∴5x－3y＋4＝0x－3y－4＝0，解得x＝－2，y＝－2，∴x＋y＝－4.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CF→＝23CB→，CG→＝23CD→.求证：四边形EFGH是梯形．【解析】∵E、H分别是AB、AD的中点，∴AE→＝12AB→，AH→＝12AD→，EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→＝12(CD→－CB→)＝12(32CG→－32CF→)＝34(CG→－CF→)＝34FG→，∴EH→∥FG→且|EH→|＝34|FG→|≠|FG→|.又F不在EH→上，∴四边形EFGH是梯形．11．(13分)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，当OP→＝2OA→－OB→－OC→时，点P是否与A，B，C共面？【解析】若P与A，B，C共面，则存在唯一的实数对(x，y)使AP→＝xAB→＋yAC→，于是对平面ABC外一点O，有OP→－OA→＝x(OB→－OA→)＋y(OC→－OA→)，所以OP→＝(1－x－y)OA→＋xOB→＋yOC→，比较原式得1－x－y＝2，x＝－1，y＝－1，此方程组无解，这样的x，y不存在，所以A，B，C，P四点不共面．12．(14分)已知非零向量e1，e2不共线，如果AB→＝e1＋e2，AC→＝2e1＋8e2，AD→＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D四点共面．【解析】方法一：令λ(e1＋e2)＋μAC→＋υ(3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3υ)e1＋(λ＋8μ－3υ)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴λ＋2μ＋3υ＝0，λ＋8μ－3υ＝0.易知λ＝－5，μ＝1，υ＝1.是其中一组解，则－5AB→＋AC→＋AD→＝0.∴A、B、C、D共面．方法二：观察易得AC→＋AD→＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.∴AB→＝15AC→＋15AD→.由共面向量知，AB→，AC→，AD→共面．又它们有公共点A，∴A、B、C、D四点共面．