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第六章第六章扭扭转转((TorsionTorsion))§§66--11概概述述外力特点：杆受一对大小相等，方向相反的力偶作用，外力偶矩的作用面垂直于杆件的轴线；相应横截面上的内力称为扭矩，记为TT。变形特点：各横截面绕轴线作相对转动；表面纵线也随之转过一个角度γ。γTT纵线轴线轴线φF1F2F1F2铸铸铁铁低碳钢低碳钢扭转破坏实例扭转破坏实例扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。dxtdyτ′τ单元体纯剪切：单元体上只有切应力而无正应力。z0)()(=⋅⋅′−⋅⋅dytdxdxtdyττττ′=0=∑zm微元体切应力互等定理(Theoryofconjugateshearingstress)切应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。τγγ在纯剪状态下，单元体相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γγ。两正交线段的直角改变量为切（剪）应变。剪切胡克定律剪切胡克定律G称为材料的剪切弹性模量[力]/[长度]2Pa、MPa、GPaτγ=G2(1)EG=+ν对于各向同性材料,可以证明:E、G、ν三个弹性常数之间存在着如下关系：剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系---剪切胡克定律：即当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比。①①直接计算直接计算§§66--22扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图一、外力偶矩的计算M或Me(Momentofexternalcouple)传动轴的转速为n(r/min)，主动轮的功率为P(kW)，外力偶矩为Me(Nm):Me×2πn60=P×1000MeNm=9549PkWnr/min②②按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算PS7024rpmNmeePPMnnM⎧⎪=⎨⎪⋅⎩───（马力）主动轮上的外力偶矩（输入力偶矩）的转向主动轮上的外力偶矩（输入力偶矩）的转向与轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶矩与轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶矩（输出力偶矩）的转向与轴的转动方向相反，（输出力偶矩）的转向与轴的转动方向相反，因为从动轮上的外力偶矩是阻力偶矩。因为从动轮上的外力偶矩是阻力偶矩。二、扭矩、扭矩图二、扭矩、扭矩图ABC1122M2M1M311M1T122M2M1T2T：+-M2-M1M1T1=-M1T2=M2-M1=M3扭矩扭矩TT的符号规定：的符号规定：⊕=mTnn⊕=′mTmTTmTT右手拇指指向外法线方向为正右手拇指指向外法线方向为正,,反之为负。反之为负。右手螺旋法则1eMABC2eM3eM1d2d==nPMe119549mN⋅=×76405004009549mNMMee⋅==306040016012mNMMee⋅==458040024013解：解：1、外力偶矩例例11、、传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮C，B分别输出功P2=160kW，P3=240kW。画扭矩图。1eMABC2eM3eM1d2dmNMe.76401=mNMe⋅=30602mNMe⋅=45803外力偶矩()−7640N.m4580N.m2、扭矩使用截面法易算T1=7640N.mT2=4580N.m111122222aaaaaa2mm1122求图示轴1-1、2-2截面上的扭矩。解：t=2m/aaT2=-m+2m-t·aa=-mT1=-mxx截面呢？xxT(xx)=-m+2m-t·xx=m-(2m/aa)·xxTT是是xx的函数的函数内力方程内力方程例22aaaaaa2mm1122tt=2=2mm//aaxx作作扭扭矩矩图图解：TT11==--mmT(T(xx)=)=--mm+2+2mm--tt··xx==mm--(2(2mm//aa))··xxTm3m⊕m§§66--33等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力一、横截面上的切应力变形分析→应变分布应力应变关系→应力分布静力关系→应力值?分析步骤横截面上的切应力公式推导γTT纵线轴线φ周线abcdA、周线绕轴线旋转一个角度，但大小、形状和周线间距不变。B、所有纵线转过同一角度γ在小变形的条件下，表面上的微体各棱边长度不变，仅夹角改变，即没有正应变，只有切应变，它们处于纯剪应力状态。（1）变形现象（2）假设横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆轴线旋转过一个角度，即横截面上的任一半径始终保持为直线——平面假设。γTT纵线轴线φ周线abcdTTCDC`D`C``D``圆轴受扭后，其横截面依然保持为平面，其上的各点只能在同一平面内转动；TT圆轴受扭后，其横截面只发生刚性转动；对称性原理：对称性原理：公式推导公式推导11、、几何关系几何关系取楔形体取楔形体在在⊿⊿abbabb''内内'bbdxργ=ddxρϕγρ='bbdρϕ=在在⊿⊿OO22bbbb''内内2、物理关系线弹性范围内:τ=GγdxdGGϕργτρρ⋅=⋅=——剪切胡克定律ϕργρ=dxdOττmaxMx剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径33、静力学关系、静力学关系ρdAρτdAoρτρ⋅=∫AATddddAGATxϕρρ=∫GxATAdddϕρ2∫=2dpAIAρ=∫令ddpTxGIϕ=则2dpAIAρ=∫极惯性矩ddϕxTGIp=ddGxρϕρτ=maxmaxpTIρτ==GTGIpρpTIρ=pTW=maxppIWρ=抗扭截面模量上述公式适用于符合平面假设的等直圆杆在上述公式适用于符合平面假设的等直圆杆在线弹性范围以内的条件。线弹性范围以内的条件。线弹性范围：最大剪应力不超出材料的剪切比例极限线弹性范围：最大剪应力不超出材料的剪切比例极限maxppTTIWρρττ==τmaxτmax实心轴空心轴IIpp和和WWpp的计算的计算1、实心圆截面ddρdρ32240222dddAIdApπρπρρρ=⋅==∫∫1623234dddrIWppππ=×==ρπρddA2=τ∫=ApdAI2ρ2、空心圆截面ddρdρDdAIAp∫=2ρ()432116απ−==DIWDppρπρρdDd2222⋅=∫()4432dD−=π()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−=DdDααπ44132τ∫=ApdAI2ρ3、薄壁圆环截面ddr0δDδ+=0r2Dδ−=0r2dδπ≈30pr2Iδπ202rWp≈τ∫=ApdAI2ρdr0δDτdρdρDτdρdρτ163234dWdIppππ==()()4344116132απαπ−=−=DWDIppδπδπ203022rWrIpp==公式分析和适用范围公式分析和适用范围•单位扭转角公式，是计算扭转变形的重要公式；•圆轴受扭的剪应力公式，式中ρ为计算之点到圆心的距离。pTIρρτ=ddϕxTGIp=•只能用于圆截面轴，材料变形在比例极限范围内pWT=maxτ•GIp为扭转刚度(Torsionrigidity)。例3：已知外力偶矩MA=500500N·m，MB=200200N·m，MC=300300N·m，试求轴的最大切应力。24181822ABCMAMBMC解:1°画扭矩图T500300+(Nm)2°计算轴的最大切应力()MPaPa27010857.15006111max=×==−pWTτ12()MPaPa26010154.13006222max=×==−pWTτ显然，最大切应力发生在AB段的各个横截面的周边各点处。其值为τmax=270MPa。强度条件：[]ττ≤=PWTmaxmax[]τWTτP≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=maxmax二、强度条件][maxττ≤等截面圆杆：变截面圆杆：强度计算包括三个方面的内容：强度计算包括三个方面的内容：（1）强度校核：（2）设计截面：（3）求许可荷载：][maxττ≤][maxτTWp≥][maxτpWT≤[]ττ≤=PWTmaxmax等截面圆杆：实验表明：在静荷载作用下，同一种材料实验表明：在静荷载作用下，同一种材料在纯剪切和拉伸时的力学性能之间存在一定的在纯剪切和拉伸时的力学性能之间存在一定的联系，因而通常可以从材料的许用拉应力值来联系，因而通常可以从材料的许用拉应力值来确定其许用剪应力值。确定其许用剪应力值。钢钢[][](0.50.60)τσ=−铸铁铸铁[][](0.81)τσ=−考虑到受扭圆轴的动荷载等因素，所取的考虑到受扭圆轴的动荷载等因素，所取的许用剪应力一般比静荷载下的许用剪应力还许用剪应力一般比静荷载下的许用剪应力还要低一些。要低一些。例例44：：在强度相同的条件下，用在强度相同的条件下，用dd/D=0.5/D=0.5的空心圆的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少??解：解：设实心轴的直径为设实心轴的直径为dd11，由，由TdTDππ13341616105=−(.)Dd11022=.得：AADd空实=−=ππ2212410540783(.).0.80.81.1920.80.512越薄越越薄越好吗？好吗？例例55：：一空心轴一空心轴αα==dd//DD=0.8=0.8，转速，转速nn=250=250rpmrpm,,功率功率PP=60=60kWkW，［，［ττ］］=40=40MPaMPa，求轴的外直，求轴的外直径径DD和内直径和内直径dd。。60954995492291.76Nm250Pmn==×=⋅由mDDπαπ34346161229176161084010().(.)−=−=×得D=791.mm63.3mmd=解：例例66：：汽车传递轴用汽车传递轴用4545号无缝钢管制成，外号无缝钢管制成，外径径DD=90=90mmmm,,壁厚壁厚tt=2.5=2.5mmmm，工作时最大扭，工作时最大扭矩矩T=1.5T=1.5kNkN··mm,,材料的许用剪应力材料的许用剪应力[]60MPaτ=11、校核轴的强度；、校核轴的强度；22、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；33、比较实心轴和空心轴的重量。、比较实心轴和空心轴的重量。解：解：11、校核轴的强度、校核轴的强度29022.50.94490DtDα−−×==≈34344(1)90(10.944)294001616PDWmmππα=−=××−≈3max91.510512940010PTPaMPaWτ−×==≈×＜[]60MPaτ=轴的强度符合要求22、确定实心轴的直径、确定实心轴的直径根据题意，实心轴的最大剪应力根据题意，实心轴的最大剪应力max51MPaτ=max316TDτπ=实336161.510535110Dmmmπ××=≈××实33、比较实心轴和空心轴的重量、比较实心轴和空心轴的重量两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比2222290850.3153ADdAD−−==≈空实实例7、一木圆轴d=150mm，顺纹向[τ]顺=1Mpa，横纹向[τ]横=2Mpa。试求该轴的容许扭矩。解：由切应力互等定理：圆轴任一点处：τ顺=τ横∵[τ]顺＜[τ]横∴应按[τ]顺进行计算∴T=WP[τ]顺=π×0.153×1×106/16=662.3kNm一、扭转变形§§66--44圆杆扭转时的变形和刚度计算圆杆扭转时的变形和刚度计算pGITx=ddϕddϕ=TGIxp∫∫==lpxGIT0ddϕϕpTlGIϕ=若T=常数公式适用条件：①当τ≤τp（剪切比例极限）公式才成立；②仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）；③扭矩、面积沿杆轴不变（T、Ip为常量）。NFllEAΔ=比较拉压变形：比较拉压变形：圆轴扭转时的刚度条件m/rad,dd单位pGITx==′ϕϕ[]ϕϕ′≤′max单位长度扭转角[]ϕπ′≤×180maxpGIT二、刚度条件[ϕ′]为许可单位长度扭转角，单位为°/m刚度计算包括：①校核刚度②截面设计③求容许荷载精密机床[ϕ′]=（0.15-0.3)