一轮复习第节立体几何中的向量方法理

一、直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量直线l上的向量e或与e的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有个．共线无数2．平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有个，且它们是向量．无数多共线1．求平面法向量的一般步骤是什么？提示：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)；(2)确定平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组n·a＝0n·b＝0；(4)解方程组，取其中的一个解后即得法向量．二、利用空间向量求角1．求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0＜〈a，b〉＜π求法cosθ＝|cos〈a，b〉|＝cosθ〈a，b〉＝a·b|a||b|0＜θ≤π2|a·b||a||b|2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝|a·n||a||n|.|cos〈a，n〉|3．求二面角的平面角(1)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是的夹角(如图①)．向量AB→与CD→(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是(如图②③)．二面角的平面角的大小求出两平面法向量的夹角后，一定要根据图形来判断二面角的大小与两法向量夹角的关系，然后得出结论．三、求距离1．两点间的距离若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝．2.点到平面距离的求法：设n是平面α的法向量，点A在平面α内，点B在平面α外，则点B到平面α的距离为．（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2|AB→·n||n|2．点到平面的距离公式如何推导？提示：设直线AB与平面α所成的角为α，则sinα＝|cos〈n，AB→〉|＝|n·AB→||n|·|AB→|，所以点B到平面α的距离d＝|AB→|sinα＝|n·AB→||n|.1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，4，－4)，b＝(－6，9，6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，从而l1⊥l2.答案：B2．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，b＝(－4，0，2)，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法判断解析：由题意，有a＝－b，∴a与b共线，从而α与β平行．答案：A3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63解析：如图建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)．平面ACD1的法向量为DB→1＝(1，1，1)，又BB→1＝(0，0，1)，∴cos〈DB→1，BB→1〉＝DB→1·BB→1|DB→1||BB→1|＝13×1＝33.设直线BB1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ＝cos〈DB1→，BB1→〉＝33，∴cosθ＝63.答案：D4．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)．n＝(0，1，1)，则两平面所成二面角的大小为________．解析：cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22.即〈m，n〉＝45°，∴两平面所成二面角为45°或135°.答案：45°或135°5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线DB1与CM所成角的余弦值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，M1，12，0.∴DB→1＝(1，1，1)，CM→＝1，－12，0，∴cos〈DB→1，CM→〉＝DB→1·CM→|DB→1||CM→|＝123×52＝1515.∴异面直线DB1与CM所成角的余弦值为1515.答案：1515【考向探寻】1．利用空间向量证明平行关系．2．利用空间向量证明垂直关系．【典例剖析】(1)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)(2)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：①DE∥平面ABC；②B1F⊥平面AEF.题号分析(1)根据a，n是否垂直进行判断.(2)建立空间直角坐标系，运用向量法证明.(1)解析：若l∥α，则需a·n＝0即可，经验证知D满足．答案：D(2)证明：如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．①取AB中点N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，∴DE→＝(－2，4，0)，NC→＝(－2，4，0)，∴DE→＝NC→，∴DE∥NC.又NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC.②方法一：B1F→＝(－2，2，－4)，EF→＝(2，－2，－2)，AF→＝(2，2，0)，B1F→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，则B1F→⊥EF→，∴B1F⊥EF.∵B1F→·AF→＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴B1F→⊥AF→，即B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.方法二：设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．由n·AF→＝（x，y，z）·（2，2，0）＝2x＋2y＝0n·EF→＝（x，y，z）·（2，－2，－2）＝2x－2y－2z＝0得x＝－y，z＝－2y.令y＝1，则n＝(－1，1，－2)．又B1F→＝(－2，2，－4)，∴n∥B1F→∴B1F⊥平面AEF.(1)用向量证平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线．线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．面面平行①证明两平面的法向量为平行(即为共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证他们的数量积为零．线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性。如证明线面平行时，仍需要体现出一条直线在平面内、另一条直线在平面外的答题步骤．【活学活用】1.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°，∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M32，0，32，∴DP→＝(0，－1，2)，DA→＝(23，3，0)，CM→＝32，0，32.(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由DP→·n＝－y＋2z＝0，DA→·n＝23x＋3y＝0得z＝12y，x＝－32y，令y＝2，得n＝(－3，2，1)∵n·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM→.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，连结BE如图，则E(3，2，1)，BE→＝(－3，2，1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE→·DA→＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0，∴BE→⊥DA→.∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.【考向探寻】1．利用空间向量求两异面直线所成的角，线面角、二面角的大小．2．利用空间向量求空间中的距离问题．【典例剖析】(1)(2013·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角为A.π6B.π4C.π3D.π2(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离是________．(3)(2012·浙江高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．①求证：MN∥平面ABCD；②过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A­MN­Q的平面角的余弦值．(1)建立坐标系，利用向量法求线面角．(2)建立坐标系，利用向量法求点到面的距离．(3)①用几何法证明；②用向量法求解．(1)解析：建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.则A(－1，0，0)，B(0，3，0)，B1(0，3，3)，C1(1，0，3)．设平面AB1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n·AB1→＝（x，y，z）·（1，3，3）＝x＋3y＋3z＝0n·AC1→＝（x，y，z）·（2，0，3）＝2x＋3z＝0得x＝－32zy＝32z，令z＝2，得n＝(－3，3，2)．设直线BB1与平面AB1C1所成角为α，则sinα＝|cos〈n，BB1→〉|＝|n·BB1→||n||BB1→|＝64×3＝12.又0＜α≤π2，∴α＝π6.答案：A(2)解析：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为1.则A1(0，0，1)，E1，0，12，D(0，1，0)，C1(1，1，1)．∴A1D→＝(0，1，－1)，A1E→＝1，0，－12设平面A1ED的法向量为n1＝(x，y，z)，由n1·A1D→＝y－z＝0n1·A1E→＝x－12z＝0，得y＝zx＝12z.令z＝2，则n1＝(1，2，2)．又C1A1→＝(－1，－1，0)，∴点C1到平面A1ED的距离d＝|C1A1→·n1||n|＝32＝322.答案：322(3)①证明：连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.②解：连AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得AC＝AB＝23，BD＝3AB＝6.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.在直角△PAC中，AC＝23，PA＝26，AQ⊥PC，得QC＝2，PQ＝4.故A(－3，0，0)，B(0，－3，0)，C(3，0，0)，D(0，3，0)，P(－3，0，26)，M－32，－32，6，N－32，32，6，Q33，0，263.设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量，由m·AM→＝32x－32y＋6z＝0，m·AN→＝32x＋32y＋6z＝0.得x＝－22zy＝0.取z＝－1，得m＝(22，0，－1