2020高考数学一轮复习第七章立体几何第6讲空间向量及其运算ppt课件理

立体几何第七章第六讲空间向量及其运算(理)1知识梳理双基自测2考点突破互动探究3名师讲坛素养提升知识梳理双基自测1．空间向量的有关概念(1)空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量，其大小叫做向量的________或________.②相等向量：方向________且模________的向量．③共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________或________，则这些向量叫做________或________.④共面向量：平行于同一________的向量叫做共面向量．大小方向长度模相同相等平行重合共线向量平行向量平面(2)空间向量中的有关定理①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb.②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.③空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．(3)两个向量的数量积①非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②空间向量数量积的运算律结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.向量表示坐标表示数量积a·b__________________共线a＝λb(b≠0)_________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)___________________模|a|a21＋a22＋a23夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b232．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．1．(2019·沈阳市外国语学校)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB1→，AD1→，BD→是()A．有相同起点的向量B．等长的向量C．共面向量D．不共面向量C[解析]因为AD1→－AB1→＝B1D1→＝BD→，所以AB1→，AD1→，BD→共面．故选C．2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2A[解析]∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴6＝kλ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k，解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12，故选A．3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝()A．－1B．43C．53D．75D[解析]由题意，得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝75.4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，用cos〈a，b〉＝89，则λ＝()A．2B．－2C．－2或255D．2或－255C[解析]由已知cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，所以89＝2－λ＋45＋λ2·9，解得λ＝－2或λ＝255.5．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且OA＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示向量MN→＝______________.12(b＋c－a)[解析]如图所示，MN→＝12(MB→＋MC→)＝12[(OB→－OM→)＋(OC→－OM→)]＝12(OB→＋OC→－2OM→)＝12(OB→＋OC→－OA→)＝12(b＋c－a)．故填12(b＋c－a)．6．已知点O为坐标原点，三点的坐标分别是A(2，－1,2)，B(4,5，－1)，C(－2,2,3)．若AP→＝12(AB→－AC→)，则点P的坐标为____________.(5，12，0)[解析]设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)，12(AB→－AC→)＝(3，32，－2)．因为AP→＝12(AB→－AC→)，即(x－2，y＋1，z－2)＝(3，32，－2)，所以x－2＝3，y＋1＝32，z－2＝－2，解得x＝5，y＝12，z＝0.所以点P的坐标为(5，12，0)．考点突破互动探究考点1空间向量的线性运算——自主练透例1(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简A1O→－12AB→－12AD→＝________.②用AB→，AD→，AA1→，表示OC1→，则OC1→＝__________________.A1A→12AB→＋12AD→＋AA1→(2)在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.[答案](2)MG→＝－16OA→＋13OB→＋13OC→OG→＝13OA→＋13OB→＋13OC→[解析](1)①A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－AO→＝A1O→＋OA→＝A1A→.②因为OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)．所以OC1→＝OC→＋CC1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.(2)MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.(1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．(2)向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算．考点2空间向量的共线、共面问题——师生共研例2如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？[解析](1)∵AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，∴MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，∴由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→、AA1→共面，所以MN∥平面ABB1A1.1．证明空间三点P、A、B共线的方法(1)PA→＝λPB→(λ∈R)；(2)对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)；(3)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．(1)MP→＝xMA→＋yMB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；(3)对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)；(4)PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．〔变式训练1〕已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．[解析](1)由题知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，所以OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，所以MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.考点3空间向量的数量积——师生共研例3(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．[解析](1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a，b＝b，c＝c，a＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.∴|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6.∴|AC1→|＝6，即A1C的长为6.(2)BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD1→|＝2，|AC→|＝3.∴BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cosBD1→，AC→＝BD1→·AC→|BD1→||AC→|＝66.∴AC与BD1夹角的余弦值为66.(1)空间向量数量积计算的两种方法①基本向量法：a·b＝|a||b|cosa，b．②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0.②|a|＝a2.③cosa，b＝a·b|a||b|.〔变式训练2〕如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝π2，∠BAA1＝23π，∠CAA1＝π3，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点．(1)用向量AB→，AC→，AA1→表示向量AO→；(2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；(3)判定平面ABC与平面B1BCC1的位置关系．[解析](1)AO→＝AB→＋BO→＝AB→＋12(BC→＋BB1→)＝AB→＋12(AC→－AB→＋AA1→)＝12(AB→＋AC→＋AA1→)．(2)设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c.|AO→|2＝[12(a＋b＋c)]2＝14(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝14(1＋1＋4＋0＋2×1×2cosπ3＋2×1×2cos2π3)＝32.所以|AO→|＝62.又因为BC→＝b－a，所以AO→·BC→＝12(a＋b＋c)(b－a)＝1，|BC→|＝2.所以cosAO→，BC→＝AO→·BC→|AO→||BC→|＝33.所以异面直线AO与BC所成的角的余弦值为33.(3)取BC的中点E，连接AE，则AE→＝12(AB→＋AC→)＝12(a＋b)．因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC．又AE→·BB1→＝12(a＋b)·c＝12(1×2cos23π＋1×2cosπ3)＝0，所以AE⊥BB1.因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面B1BCC1.又AE⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面B1BCC1.名师讲坛素养提升坐标法在向量数量积中的应用例4(2019·沈阳模拟)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A．55B．53C．255D．35A[解析]设CA＝CC1＝2CB＝2，则A