高考数学一轮复习经典课件立体几何概述

高考调研·新课标高考总复习①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正确描述现实生活中简单物体的结构．②了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要求记忆公式)考纲下载高考调研·新课标高考总复习柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，是立体几何的基础，而它们的面积与体积(尤其是体积)是高考热点.请注意!高考调研·新课标高考总复习课前自助餐课本导读1．棱柱的结构特征(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(2)性质：①侧棱长相等；②侧面都是平行四边形．2．棱锥的结构特征(1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥．(2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．•(3)正棱锥的性质：•①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高．•②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．•3．圆柱、圆锥、圆台的特征•分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．高考调研·新课标高考总复习•其中旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．•4．棱台、圆台的特征•用平行于底面的平面去截棱锥、圆锥，截面与底面间的部分叫棱台、圆台．•5．球•一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球．•6．几何体的表面积•(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和．高考调研·新课标高考总复习(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl、S锥＝πr2＋πrl.(4)若圆台的上下底面半径为r1、r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l.(5)球的表面积为4πR2.7．几何体的体积(1)V柱体＝Sh.(2)V锥体＝13Sh.(3)V台体＝13(S′＋SS′＋S)h，V圆台＝13π(r21＋r1r2＋r22)·h，V球＝43πR3(球半径是R)．高考调研·新课标高考总复习高考调研·新课标高考总复习教材回归1．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案D解析A错误．•如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．•B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．高考调研·新课标高考总复习C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为________．解析高考调研·新课标高考总复习答案3π已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公式可求．如图，设圆锥轴截面三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a2＝4，∴a＝2，∴圆锥的全面积：S＝π(a2)2＋π·a2·a＝3π3．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()A.232B.2C.23D.432高考调研·新课标高考总复习答案C解析本题考查几何体体积的求法，易知正三棱锥的侧棱长为2，则其体积为16(2)3＝23，故选C.(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为a、b、c，则其体积为16abc)．4.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为()A.13B.16C.112D.124高考调研·新课标高考总复习答案D解析设B、D、C重合于G，则VA－EFG＝13×1×12×12×12＝124.5.(2010·湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析设球的半径为rcm，则底面圆的半径为rcm，从而有8πr2＋3×43πr3＝6r·πr2，由此解得r＝4.高考调研·新课标高考总复习答案4高考调研·新课标高考总复习授人以渔题型一集合体的结构特征例1判断正误：(1)若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；(2)若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；(3)三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形；(4)圆锥所有轴截面都是全等的等腰三角形；(5)圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中，面积最大的一个．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×探究1深刻领会基本概念，熟练掌握基本题型的解法，是学好立体几何的关键，本课涉及到的概念较多，应多看、多想、多做．•思考题1(2010·福建卷，理)如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面FEGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中正确的是()•A．EH∥FG•B．四边形EFGH是矩形•C．Ω是棱柱•D．Ω是棱台•【解析】根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)．因此，几何体Ω不是棱台，应选D.•【答案】D高考调研·新课标高考总复习题型二多面体的表面积和体积高考调研·新课标高考总复习例2如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．【解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，高为263所以该四面体的体积为13×12×16×32×263＝823.【答案】823高考调研·新课标高考总复习探究2求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．思考题2已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面积之和，求棱台的高及体积．【解析】如图所示，正三棱台ABC－A1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1中点，则DD1为棱台的斜高，设A1B1＝20，AB＝30，则OD＝53，O1D1＝1033，高考调研·新课标高考总复习由S侧＝S上＋S下，得12(20＋30)×3×DD1＝34(202＋302)，∴DD1＝1333，在直角梯形O1ODD1中，O1O＝DD21－OD－O1D12＝43，∴棱台的高为43cm.∴V＝13(S上＋S上S下＋S下)h＝1900(cm3)．高考调研·新课标高考总复习题型三旋转体的表面积和体积例3如右图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积．【解析】AB＝4，R＝2S球＝4πR2＝16π高考调研·新课标高考总复习设DC＝x，则AC＝2x，BC＝xsin60°＝23x3在Rt△ABC中，4x2＋4×3x29＝16，x＝3S锥侧上＝πrl＝π·3·23＝6πS锥侧下＝πrl＝π·3·2＝23πS表＝12(S球＋S锥侧上＋S锥侧下)＝(11＋3)π.∴V＝12(V球－V锥上－V锥下)＝1243πR3－13πCD2AD＋BD＝103π高考调研·新课标高考总复习•探究3此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高等)，然后代入公式计算即可．思考题3(1)圆台上下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积为()A.233πB．23πC.736πD.733π【解析】由题意可得，圆台的上下底面半径分别为1、2，母线长为2，从而高为3.由体积公式可得这个圆台的体积为733π.高考调研·新课标高考总复习【答案】D高考调研·新课标高考总复习(2)已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝18cm，BC＝24cm，AC＝30cm，求球的体积和表面积．【解析】∵AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，∴过A、B、C三点的截面圆的半径为12AC＝15(cm)．设球的半径为R，则R2＝(R2)2＋152，∴R2＝300，∴R＝103(cm)，∴V球＝43πR3＝40003π(cm3)，S球＝4πR2＝1200π(cm2)．高考调研·新课标高考总复习例4(1)已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．【解析】因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝a2＋a22＝52a，所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连接EF，则△EFB≌△EFD1，由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝2·13·S△EBA1·a＝16a3.高考调研·新课标高考总复习(2)如图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1而截得的，已知AA1＝CC1，截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为()A.22B.33C.24D.2【解析】以正方形ABCD为底面，DD1为棱将上图补成一个正四棱柱ABCD－A2B1C2D1，如下图所示，高考调研·新课标高考总复习∵截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角．∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半．∵AA1＝CC1，易知∠D1BD为截面与底面ABCD所成的二面角的平面角．∴∠D1BD＝45°.∵AB＝1，∴BD＝2，DD1＝2.∴正四棱柱ABCD－A2B1C2D1的体积V＝1×2＝2.∴所求多面体的体积为22.高考调研·新课标高考总复习【答案】A•探究4(1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积．•(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算．•(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解．高考调研·新课标高考总复习思考题4一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．高考调研·新课标高考总复习【思路分析】本题为求棱锥的体积问题．已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高，再根据体积公式求出其体积．【解析】如图所示，正三棱锥S－ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝32×6＝33，∴AH＝23AE＝23.在△ABC中，S△ABC＝12BC·AE＝12×6×33＝93.在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，∴SH＝SA2－AH2＝15－12＝3，∴V正三棱锥＝13S△ABC·SH＝13×93×3＝9.高考调研·新课标高考总复习高考调研·新课标高考总复习本课总结•1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．•2