中考数学专题突破

专题一选择、填空题难题分析专题二数学建模专题三解直角三角形的应用专题四规律性探索题专题五动态性问题专题六阅读理解题专题七探究性问题专题一选择、填空题难题分析安徽中考题中的选择题和填空题属于基础题，重在考查学生的基础知识和基本技能．选择题的最后一题可能是图形变化结合函数题，也可能是多知识综合的试题，有时还要用到分类讨论、数形结合等数学思想；填空题的最后一道题多为多选题，一般难度较大．一、选择题难题分析例1[2013·安徽]如图X1－1，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上一点，在以下判断中，不正确．．．的是()图X1－1A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形CA．当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，O既是等边△ABC的内心，也是外心，所以∠ABP＝∠CBP，根据圆周角性质，弧PA＝弧PC，所以PA＝PC，选项A正确；B.当△APC是等腰三角形时，点P是弧AC的中点或与点B重合，由垂径定理，都可以得到PO⊥AC，选项B正确；C.当PO⊥AC时，由点P是弧AC的中点或与点B重合，易得∠ACP＝30°或∠ACP＝60°.选项C错误；D.当∠ACP＝30°时，分两种情况，点P是弧AC或弧AB的中点，都可以得到△BPC是直角三角形，选项D正确．故选C.解析【点拨交流】(1)要判断△APC是等腰三角形，应具备什么条件？(2)怎样得到PO⊥AC呢？(3)当PO⊥AC时，点P在⊙O的位置有几种情况？此时∠ACP的大小是多少？(4)当∠ACP＝30°时，点P在⊙O的位置有几种情况？此时△BPC的形状有什么特征？专题一┃选择、填空题难题分析(1)需满足AP＝CP或∠PAC＝∠PCA.由弦PB最长即为⊙O直径，证得弧AP＝弧CP，进而得到AP＝CP.(2)根据垂径定理，只需满足点P是劣弧AC或优弧ABC的中点．由PA＝PC，根据圆心角、弧、弦之间的关系，可得到弧AP＝弧CP，即点P是劣弧AC或优弧ABC的中点．(3)当PO⊥AC时，根据垂径定理，点P可能是劣弧AC中点，也可能是优弧ABC的中点，此时∠ACP＝30°或60°；(4)当∠ACP＝30°时，分两种情况：点P可能在劣弧AC上，也可能在劣弧AB上．根据圆周角定理，结合等边三角形的性质易得到△BPC均是直角三角形．解专题一┃选择、填空题难题分析【方法总结】二、填空题难题分析例2[2013·安徽]如图X1－2，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，BC＝2，将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点(E，F是该矩形边界上的点)，折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：图X1－2①当四边形A′CDF为正方形时，EF＝2；②当EF＝2时，四边形A′CDF为正方形；③当EF＝5时，四边形BA′CD为等腰梯形；④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF＝5.其中正确的是______________(把所有正确结论的序号都填在横线上)．①③④当四边形A′CDF为正方形时，折痕EF过点B且平分∠ABC，此时EF＝2，故①正确；当折痕EF保持与①中的折痕平行时，折痕EF＝2，此时四边形A′CDF为直角梯形，故②不正确；当EF＝5时，折痕为对角线BD，此时四边形BA′CD为等腰梯形，故③正确；当四边形BA′CD为等腰梯形时，折痕EF就是矩形ABCD对角线BD的长，此时EF一定等于5，故④正确.解析【点拨交流】(1)图形的折叠能得到什么性质？(2)当四边形A′CDF为正方形时，折痕EF具有什么特征？怎样求EF?(3)若折痕EF＝2，EF一定经过点B吗？此时四边形A′CDF的形状是什么？(4)EF＝5时，折痕EF有什么特殊性？四边形BA′CD的形状是什么？(5)四边形BA′CD为等腰梯形时，怎样求折痕EF的长？(1)图形的折叠能得到全等形．(2)此时折痕EF经过点B(点E与点B重合)，且平分∠ABC，即△ABF是等腰直角三角形，根据勾股定理EF＝12＋12＝2.(3)把①中的折痕EF向右平移，此时EF＝2，折痕EF不一定经过点B，此时四边形A′CDF是正方形或直角梯形．(4)EF＝5时，折痕EF就是矩形ABCD的对角线BD，此时四边形BA′CD是等腰梯形．(5)运用逆向思维，当四边形BA′CD为等腰梯形时，折痕EF是矩形ABCD的对角线BD，用勾股定理可求EF＝12＋22＝5.解【方法总结】专题二数学建模解决生活中的实际问题，往往离不开数学建模，方程与函数是常用的数学建模．列方程(组)解应用题和由实际问题建立函数关系式，利用函数的性质解决问题是安徽中考试题考查的热点题型之一，主要涉及一次方程(组)的应用、一元二次方程的应用、分式方程的应用、函数的图象与性质及函数的实际应用等．一、方程(组)及其应用例1[2013·安徽]某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x的值．(1)4000＋25x(元)；(2)根据题意，得2000x＝2000＋25xx＋20，解得x＝±40，经检验x＝±40都是原方程的解，但x＝－40不合题意，应舍去，只取x＝40.∴x＝40.解【点拨交流】(1)怎样用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用？(2)问题的相等关系是什么？能建立什么样的方程？(3)怎样解这个分式方程？怎样验根？(1)总费用中包括该校购买乒乓球拍的费用和购买羽毛球拍的费用，由于购买乒乓球拍的费用是2000元，购买羽毛球拍的费用是(2000＋25x)元，所以总费用＝2000＋(2000＋25x)＝4000＋25x(元)；(2)根据问题中的相等关系“购买乒乓球拍的数量＝购买羽毛球拍的数量”，可建立方程“2000x＝2000＋25xx＋20”．(3)把方程两边同乘以x(x＋20)，化为整式方程2000(x＋20)＝(2000＋25x)x，解得x＝±40，经检验：x＝±40都是原方程的解，但x＝－40不合题意，应舍去，只取x＝40.解二、函数应用题例2[2013·安徽]某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．销售量p(件)p＝50－x销售单价q(元/件)当1≤x≤20时，q＝30＋12x；当21≤x≤40时，q＝20＋525x.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？(1)①当1≤x≤20时，由q＝35得：30＋12x＝35，解得x＝10；②当21≤x≤40时，由q＝35得：20＋525x＝35，解得x＝35.综上所述，当第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件；(2)①当1≤x≤20时，y＝30＋12x－20(50－x)＝－12x2＋15x＋500；②当21≤x≤40时，y＝20＋525x－20(50－x)＝26250x－525.综上：y＝－12x2＋15x＋500（1≤x≤20），26250x－525（21≤x≤40）.解(3)①当1≤x≤20时，y＝－12x2＋15x＋500＝－12(x－15)2＋612.5，∵－12＜0，∴当x＝15时，y最大值＝612.5(元)；②当21≤x≤40时，y＝26250x－525，∵26250x随x的增大而减小，∴当x＝21时，y最大值＝2625021－525＝725(元)．综上所述，这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元.【点拨交流】(1)对于分段函数，如何求函数值对应的自变量取值？(2)如何确定该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式？(3)对于二次函数如何确定它的最值？(4)对于一般的函数，如何确定它的最值？(5)最终如何确定最大利润？(1)根据分段函数的解析式，分别求出各个函数解析式中函数值所对应的自变量的取值，并结合自变量的取值范围进行取舍．对于q＝30＋12x，当q＝35时，x＝10，在1≤x≤20范围内；对于q＝20＋525x，当q＝35时，x＝35，在21≤x≤40范围内．(2)根据利润公式：总利润＝每件商品的利润×销售的数量，每件商品的利润＝销售价格－成本价，由于销售单价与x之间是分段函数关系，所以利润y也是关于x的分段函数．y＝－12x2＋15x＋500（1≤x≤20），26250x－525（21≤x≤40）.解(3)对于二次函数，一般用配方的方法配成顶点形式，结合抛物线的开口方向和自变量的取值范围确定最值．当1≤x≤20时，y＝－12x2＋15x＋500＝－12(x－15)2＋612.5，∵－12＜0，∴当x＝15时，y最大值＝612.5(元)；(4)一般的函数通常没有最值，但如果自变量的取值范围有特别规定，可结合函数的增减性确定最值．当21≤x≤40时，y＝26250x－525，∵26250x随x的增大而减小，∴当x＝21时，y最大值＝2625021－525＝725(元)．(5)综合考虑(3)、(4)两种情况下，比较得出结论．这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元．专题三解直角三角形的应用解直角三角形的实际应用是将实际生活中的问题转化为数学模型，通过构建直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的边角关系来解决问题．安徽中考题常与航海、坡面、楼高的测量等问题相结合，体现了数学的应用价值．预计2014年仍会出现解直角三角形的问题．一、直接考查解直角三角形知识例1如图X3－1，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．图X3－1过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴CD＝12AC＝3，由勾股定理得AD＝（23）2－（3）2＝9＝3.在Rt△BCD中，∵tan45°＝CDBD，∴BD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.解【点拨交流】(1)在一般三角形中，如何求边长？(2)在Rt△ACD中，如何求AD?(3)在Rt△BCD中，如何求BD?(4)如何求AB的长？(1)一般是作三角形的高(本题中过点C作CD⊥AB于D)，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系解题．注意尽量不要分割已知的特殊角．(2)根据直角三角形的边角关系：cos30°＝ADAC，求得AD＝32×23＝3；(3)先根据勾股定理或直角三角形的边角关系，求得CD＝3，再根据tan45°＝CDBD，BD＝CD＝3；(4)根据线段的和差关系，AB＝AD＋BD＝3＋3.解二、解直角三角形的实际应用例2[2013·安徽]如图X3－2，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)图X3－2过点A作AF⊥CE于点F，在Rt△ABF中，AB＝20，∵sinα＝AFAB，∴AF＝20×32＝103.在Rt△AEF中，∵sinβ＝AFAE，∴AE＝10322＝106(m)．解【点拨交流】(1)如何把实际问题转化为数学问题？(2)如何求改造后的坡长AE?(1)根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系．(2)过点A作垂线，构造直角三角形，利用解直角三角形求出坡长AE.解专题四规律性探索题规律性探索问题是指给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或者给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、探究、猜想，确定其中蕴含的规律，进而归纳出一般性规律，并加以运用．预计2014年仍会出现考查此类问题的试题．一、数字变化型例1[2012·汕头]观察下列等式：第1个等式：a1＝11×