二项式定理优秀教学设计

二项式定理第3课时教学目标：掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用。教学过程：【设置情境】在杨辉的《详解九章算术》中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！【探索研究】上节课我们已经知道在二项式定理nnnrrnrnnnnnnbbabaabaCCCC)(110中，),,2,1,0(Cnrrn叫做二项式系数。它们是一组仅与二项式的次数n有关的1n个组合数，而与a、b无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。1．“杨辉三角”的来历及规律nba)(展开式中的二项式系数，当,3,2,1n时，如下表所示：1)(ba…………………………………112)(ba………………………………1213)(ba……………………………13314)(ba…………………………146415)(ba………………………151010516)(ba……………………1615201561这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。由学生观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。nba)(展开式的二项式系数依次是nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，rnC可看成是以r为自变量的函数)(rf，其定义域是n,,2,1,02．二项式系数的性质1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式mnnmnCC得到。2）增减性与最大值由于kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1所以knC相对于1Ckn的增减情况由kkn1决定。由2111nkkkn。可知，当21nk时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数2Cnn取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数21Cnn、21Cnn相等，且同时取得最大值。3）各二项式系数的和在二项式定理中，令1ba，则nnnnnn2CCCC210。这就是说，nba)(的展开式的各二项式系数的和等于n2。同时由于1C0n，上式还可以写成12CCCC321nnnnnn。这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、…、n个元素的所有组合数的和。3．例题分析例1证明在nba)(的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明：在展开式nnnnnnnnnnbbabaabaCCCC)(222110中，令1,1ba，得nnnnnnnnCC)1(CCC1)(13210。就是)CC()CC(03120nnnn∴3120CCCCnnnn即在nba)(的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。例2已知nxx)2(3的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项。解：依题意13C7Cnnn整理得76)2)(1(nn∴8n设展开式中含x的项是第1r项，则23888381C)2()2()(rrrrrrrrxxxCT∴1238rr解得2r故展开式中含x的项为第3项，即xxT112C)2(2823。【演练反馈】1．已知nx)31(的展开式中的系数和比nxx)2(的展开式中的二项式系数和大240，求nxx)2(的展开式中的第3项。（由一名学生板演后，教师讲评，着重指出“二项式数”与“系数”的区别）2．在二项式11)1(x的展开式中，求系数最小的项的系数。3．求28)32(yx的展开式中系数最大的是第几项？（学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不是中间一项）4．设：3322103)32(xaxaxaax。求：231220)()(aaaa的值。（学生练习后，教师讲解，指出“取特值”是二项式定理中常用的方法）【参考答案】1．解：依题意有24024nn解得4n于是4)2(xx的展开式中的第3项是22243)2(CxxT242．解：因为在11)1(x的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项56511)1(Cx、第七项65611)1(Cx，所以系数最小的项的系数为.462C5113．解：设展开式中第1r项的系数最大，则1271282828129128282832C32C32C32Crrrrrrrrrrrr即1282812828C32CC23Crrrr整理得)3(281)2(2r)29(3rrr解得52175216r∴7r故第18项的系数最大。4．解：在3322103)32(xaxaxaax令1x，得33120)32()()(aaaa令1x，得33120)23()()(aaaa两式相乘得1)1()()(3231220aaaa。【总结提炼】二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。板书设计二项式定理（三）（一）设置情境（二）探索研究1．“杨辉三角”的来历及规律2．二项式系数的性质3．例题分析例1例2练习（三）总结提炼