选修2-1空间向量的-直角坐标运算课时作业

课时作业19空间向量的直角坐标运算时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝14A1B1，则BE1→等于()A．(0，14，－1)B．(－14，0,1)C．(0，－14，1)D．(14，0，－1)【答案】C【解析】∵B(1,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)．∴E1(1，34，1)，∴BE1→＝(0，－14，1)．故选C.2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是()A．1B.15C.35D.75【答案】D【解析】ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，∴k＝75.3．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°【答案】A【解析】a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，故选A.4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.55B.555C.355D.115【答案】C【解析】由已知b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝1＋t2＋2t－12＋0＝5t－152＋95≥355.5．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦为89，则λ＝()A．2B．－2C．－2或255D．2或－255【答案】C【解析】a·b＝2－λ＋4＝6－λ，|a|＝5＋λ2，|b|＝9.cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝6－λ5＋λ2·9＝89，55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝255.6．已知O为坐标原点，OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为()A.12，34，13B.12，32，34C.43，43，83D.43，43，73【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在OP→上，故有OQ→∥OP→，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA→·QB→＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA→·QB→取最小值．二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ＝________，μ＝________.【答案】512【解析】∵a∥b，∴a＝mb，即λ＋1＝6m，0＝m2μ－1，2＝2m，∴m＝1，λ＝5，μ＝12.8．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________．【答案】直角三角形【解析】∵AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)，∴AC→·BC→＝0.∴AC→⊥BC→，△ABC为直角三角形．9．已知a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是________．【答案】65【解析】|a|＝14，|b|＝14，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－27，∴sin〈a，b〉＝357，∴面积S＝|a||b|sin〈a，b〉＝65.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求P点的坐标，使(1)OP→＝12(AB→－AC→)；(2)AP→＝12(AB→－AC→)．【解析】AB→＝(2,6，－3)，AC→＝(－4,3,1)．(1)OP→＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则P点坐标为(3，32，－2)．(2)设P点坐标为(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)＝12(AB→－AC→)＝(3，32，－2)．∴x＝5，y＝12，z＝0，∴P点坐标为(5，12，0)．11．(13分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)设|c|＝3，c∥BC→，求c.(2)求a与b的夹角．(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.【解析】(1)∵c∥BC→，BC→＝(－2，－1,2)．设c＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c|＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3，∴λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)a＝AB→＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，b＝AC→＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝1，1，0·－1，0，22×5＝－1010.∴a和b的夹角为〈a，b〉＝π－arccos1010.(3)ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又(ka＋b)⊥(ka－2b)，则(ka＋b)·(ka－2b)＝0，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k－2＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52.12．(14分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，问当点N位于线段AB何处时，MN⊥MC1?【解析】以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．设正方体棱长为a.则M(0,0，a2)，C1(a，a，a)．设N(x,0,0)，则MC1→＝(a，a，a2)，MN→＝(x,0，－a2)．由MN→·MC1→＝xa－a24＝0，得x＝a4.所以点N的坐标为(a4，0,0)，即N为线段AB的四等分点且靠近点A时，MN⊥MC1.