选修2-1平面的法向量和平面的向量表示课时作业

课时作业21平面的法向量与平面的向量表示时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作平面α的法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)【答案】D【解析】一个平面的所有法向量都共线．2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2【答案】C【解析】∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k.∴k＝4.3．已知∠ABC＝90°，BC∥平面α，AB与平面α斜交，那么∠ABC在平面α内的射影是()A．锐角B．直角C．锐角或直角D．锐角或直角或钝角【答案】B【解析】设B，C在平面α内的射影分别为B′，C′，则BB′C′C为矩形，BC∥B′C′，∴B′C′⊥AB，由三垂线定理B′C′⊥AB′，故选B.4．若平面α、β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确【答案】C【解析】∵u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，∴u与v不平行且u与v不垂直，故选C.5．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为()A．1或2B．－1或－2C．－1D．－2【答案】B【解析】由题意可知，n1·n2＝(1,2，x)·(x，x＋1，x)＝x＋2x＋2＋x2＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1，x＝－2.6．已知A＝(1,5，－2)，B＝(3,1，z)，若A⊥B，B＝(x－1，y，－3)且B⊥平面ABC，则B等于()A．(407，－157，－4)B．(407，－157，－3)C．(407，－154，4)D．(337，－157，－3)【答案】D【解析】A·B＝3＋5－2z＝0，∴z＝4.又B⊥平面ABC，∴B⊥A且B⊥B，即B·A＝0，且B·B＝0，∴x－1＋5y＋6＝0，3x－1＋y－12＝0，∴y＝－157，x－1＝337，即B＝(337，－157，－3)．二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．【答案】(2,1,0)(答案不唯一)【解析】∵A＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)，B＝(1，－2,1)，设法向量n＝(x，y，z)，则⇒x－2y－4z＝02x－4y－3z＝0x－2y＋z＝0⇒x＝2y，z＝0.∴n＝(2y，y,0)，取y＝1，则n＝(2,1,0)．8．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，12，2，则m＝________.【答案】－8【解析】设a＝(2，m,1)，b＝(1，12，2)．∵l∥α，∴a⊥b，∴2＋12m＋2＝0，∴m＝－8.9.如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．【答案】2【解析】以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．由·＝0，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，Q只有一个．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)如图所示，已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，求平面ABC的一个法向量．【分析】平面的法向量与平面垂直，即与平面内的两个不共线向量垂直．【解析】由已知可得A＝O－O＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a，b,0)，A＝O－O＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)．设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则：n·A＝(x，y，z)·(－a，b,0)＝－ax＋by＝0，n·＝(x，y，z)·(－a,0，c)＝－ax＋cz＝0.于是得y＝abx，z＝acx.不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab.因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量．11．(13分)在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD.求证：AD⊥BC.【分析】要证明AD⊥BC，根据三垂线定理，只需证明AD在平面BCD内的射影和BC垂直，因此，可作AO⊥平面BCD于O点，问题即转化为证明OD⊥BC.【证明】方法一：如图所示，作AO⊥平面BCD于O点，连接BO、CO、DO，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD上的射影．∵AB⊥CD，∴BO⊥CD(三垂线定理的逆定理)，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心．∴DO⊥BC，于是AD⊥BC(三垂线定理)．方法二：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝a－c，＝－＝a－b，＝－＝c－b.∵AB⊥CD，∴b·(a－c)＝0，即a·b＝b·c.又AC⊥BD，∴c·(a－b)＝0，即a·c＝b·c，∴a·b＝a·c.∴a·(b－c)＝0，即·＝0，∴⊥，∴AD⊥BC.【总结】应用三垂线定理证明两异面直线垂直，关键是确定其中一条直线在另一条直线所在平面上的射影．12．(14分)如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M、N、Q分别是PC、AB、CD的中点，(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：平面QMN∥平面PAD；(3)求证：MN⊥平面PCD.【证明】(1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)∵M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，∴Mb2，d2，d2，Nb2，0，0，Qb2，d，0∴＝0，－d2，－d2，∵面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)∴·m＝0，即⊥m，∴MN⊄平面PAD，∴MN∥面PAD，(2)＝(0，－d,0)，⊥m，又QN⊄平面PAD，∴QN∥面PAD.又∵MN∩QN＝N，∴面MNQ∥平面PAD.(3)＝(0，d，－d)，＝(b,0,0)，∴·＝－d2d＋－d2(－d)＝0，·＝0，∴⊥，⊥DC，又PD∩DC＝D，∴⊥平面PCD.