选修2-1直线的方向向量和直线的向量方程课时作业

课时作业20直线的方向向量与直线的向量方程时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM→＝AB→，则点B应为()A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)【答案】B【解析】∵OM→＝AB→＝OB→－OA→，∴OB→＝OM→＋OA→＝(9,1,1)．故选B.2．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝92，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝92，y＝152【答案】D【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，∴32＝x3＝y5，∴x＝92，y＝152.3．已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，则四边形ABCD是()A．空间四边形B．梯形C．平行四边形D．菱形【答案】B【解析】∵AB→＝(－2,3，－3)，CD→＝(4，－6,6)，∴CD→＝－2AB→，∴AB∥CD且|AB→|≠|CD→|，∴四边形ABCD是梯形．4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45【答案】D【解析】设AB＝AD＝1，AA1＝2，cos〈A1B→，AD1→〉＝A1B→·AD1→|A1B→||AD1→|＝0＋0－2×25×5＝－45，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.5．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1【答案】A【解析】∵|a|＝6，∴x＝±4.又a⊥b，∴2y＋x＋2＝0.当x＝4时y＝－3，x＋y＝1；当x＝－4时y＝1，x＋y＝－3.故选A.6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P∈A1D，Q∈AC，且PQ⊥A1D，PQ⊥AC，则直线PQ与BD1的位置关系是()A．异面B．平行C．垂直不相交D．垂直且相交【答案】B【解析】设正方体棱长为1，以D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则BD1→＝(－1，－1,1)，DA1→＝(1,0,1)，AC→＝(－1,1,0)．设PQ→＝(x，y，z)，则PQ→·DA1→＝x＋z＝0，PQ→·AC→＝－x＋y＝0.∴PQ→＝(x，x，－x)，从而PQ→＝－xBD1→，∴BD1∥PQ.二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知两点A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是________．【答案】(53，0，13)【解析】设交点坐标为P(x,0，z)，则由A、P、B三点共线可设AP→＝λAB→，于是有(x－1,2，z－3)＝λ(1,3，－4)，即x－1＝λ，2＝3λ，z－3＝－4λ，解得x＝53，z＝13，故AB连线与xOz平面的交点坐标是(53，0，13)．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．【答案】π2【解析】建立坐标系如图所示，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，OP→＝(1，x－1,2)，BM→＝(－2,0,1)，∴OP→·BM→＝0，∴直线BM与OP所成的角为π2.9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP→＝15OA→＋73OB→＋λOC→(λ∈R)确定的点P与A，B，C四点共面，则λ的值为________．【答案】－2315【解析】P与A，B，C共面⇒存在实数x，y，使AP→＝xAB→＋yAC→⇒OP→－OA→＝xOB→－xOA→＋yOC→－yOA→⇒OP→＝(1－x－y)OA→＋xOB→＋yOC→，∴1－x－y＝15，x＝73，y＝λ，解得λ＝－2315.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知点A(3,4,5)，B(3,4,0)，BC→＝2OA→(O为坐标原点)，求点C的坐标.【解析】设点C的坐标为(x，y，z)，∵BC→＝(x－3，y－4，z)，OA→＝(3,4,5)．∴(x－3，y－4，z)＝(6,8,10)．∴x－3＝6y－4＝8z＝10，得x＝9y＝12z＝10.∴点C的坐标为(9,12,10)．11．(13分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，证明：OA1→⊥AM→.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1个单位，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，M(0,0，12)，O(12，12，0)，∴OA1→＝(12，－12，1)，AM→＝(－1,0，12)，∵OA1→·AM→＝12×(－1)＋(－12)×0＋1×12＝0，∴OA1→⊥AM→.∴OA1⊥AM.12．(14分)直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．【分析】解答本题只需建立适当的坐标系，利用向量法求解即可．【解析】如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1(0,2,3)，M(12，2,0)，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)．则MN→＝(－12，－2，h)，DC1→＝(0,2,3)．MN→·DC1→＝(－12，－2，h)·(0,2,3)＝－4＋3h.∴当h＝43时，MN→·DC1→＝0，此时MN→⊥DC1→，∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.【总结】证两直线垂直可转化为证两直线的方向向量垂直．