惠州市2020届高三第三次调研考试数学理试题(含解析)

数学试题（理科）答案第1页，共16页惠州市2020届高三第三次调研考试数学试题（理科）答案第2页，共16页数学试题（理科）答案第3页，共16页数学试题（理科）答案第4页，共16页数学试题（理科）答案第5页，共16页数学试题（理科）答案第6页，共16页数学试题（理科）答案第7页，共16页惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题题号123456789101112答案DBDACADDADBC1.【解析】，，故选D.{21}{0}xAxxx{0}UCAxx2.【解析】，所以z对应的点在第二象限，故选B.21313ii2222z（）3.【解析】，，，所以.故选D.20201logπa2020log1020201πb01，1π2020c1abc4.【解析】因为角θ终边落在直线上，所以，，3yxtan321cos10所以故选A.3sin(2)224cos2(2cos1).55.【解析】如图所示，＝－＝－＝－(＋)MP→AP→AM→12AD→45AC→12AD→45AB→AD→＝－(＋)＝－－.故选C.12b45ab45a310b6.【解析】依题意，知－＝－，且－≠，解得a＝±.故选A.4a12a52a1227.【解析】1233243546521()()()()()nnnnSaaaaaaaaaaaaaa，所以，故选D.2221nnaaa201920211Sa8.【解析】故选D.11332815.14CCPC9.【解析】是偶函数，排除C、D，又故选A.21sin1xfxxe1sin1xxexe(1)0,f10.【解析】如图：面，面，面，可知𝛼//𝐶𝐵1𝐷1𝛼∩𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑚𝛼∩𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝑛𝑛//，，因为△是正三角形，所成角为60°．𝐶𝐷1𝑚//𝐵1𝐷1𝐶𝐵1𝐷1mn、则m、n所成角的正弦值为．故选D．3211.【解析】设直线AB的方程为：，点,，𝑥=𝑡𝑦+𝑚𝐴(𝑥1,𝑦1)𝐵(𝑥2,𝑦2)直线AB与x轴的交点为，𝑀(𝑚,0)由，根据韦达定理有,{𝑥=𝑡𝑦+𝑚𝑦2=𝑥⇒𝑦2‒𝑡𝑦‒𝑚=0𝑦1⋅𝑦2=‒𝑚，，∵𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=2∴𝑥1⋅𝑥2+𝑦1⋅𝑦2=2数学试题（理科）答案第8页，共16页结合及，得，点A、B位于x轴的两侧，𝑦21=𝑥1𝑦22=𝑥2(𝑦1⋅𝑦2)2+𝑦1⋅𝑦2‒2=0∵，故．不妨令点A在x轴上方，则,又,∴𝑦1⋅𝑦2=‒2𝑚=2𝑦10𝐹(14,0)．∴𝑆△𝐴𝐵𝑂+𝑆△𝐴𝐹𝑂=12×2×(𝑦1‒𝑦2)+12×14𝑦1=98𝑦1+2𝑦1≥298𝑦1⋅2𝑦1=3当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3．故选B．98𝑦1=2𝑦1𝑦1=43=∴△𝐴𝐵𝑂△𝐴𝐹𝑂12.【解析】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,正确。(𝑥0,𝑥0+1)𝑥0+12𝑓(𝑥0+12)=‒1①若，则，即，不妨取，此时，满足条件，𝑥0=0𝑓(𝑥0)=𝑓(𝑥0+1)=‒12𝑠𝑖𝑛𝜑=‒12𝜑=‒𝜋6𝑓(𝑥)=sin(2𝜋𝑥‒𝜋6)但为上的最大值，不满足条件，故错误。𝑓(13)=1(0,1)②不妨令，，两式相减得,𝜔𝑥0+𝜑=2𝑘𝜋‒5𝜋6𝜔(𝑥0+1)+𝜑=2𝑘𝜋‒𝜋6𝜔=2𝜋3即函数的周期，故正确。𝑇=2𝜋𝜔=3③区间的长度恰好为673个周期，当时，即时，在开区间上零点个(0,2019)𝑓(0)=0𝜑=𝑘𝜋𝑓(𝑥)(0,2019)数至少为，故错误。673×2‒1=1345④故正确的是，故选C．①③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。13、614、315、1（2分）；121（3分）16、‒4713.【解析】①②③故答案为6.22,220;n44,220;n66,220.n14.【解析】令，得，令，则．所以0x01a𝑥=1𝑎0+𝑎1+𝑎2+…+𝑎8=‒21283.aaa15.【解析】由时，，可得，又，即，即有，𝑛=1𝑎1=𝑆1𝑎2=2𝑆1+1=2𝑎1+1𝑆2=4𝑎1+𝑎2=43𝑎1+1=4解得；由，可得，由，可得，𝑎1=1𝑎𝑛+1=𝑆𝑛+1‒𝑆𝑛𝑆𝑛+1=3𝑆𝑛+1𝑆2=4𝑆3=3×4+1=13𝑆4，．=3×13+1=40𝑆5=3×40+1=12116.【解析】因为是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以，2F2pc解得，所以抛物线的方程为：；2pc24ycx由，，1123tan4PFkPFF124cos5PFF如图过作抛物线准线的垂线，垂足为，设，，PM0(Px0)y则，∴．2002pPMPFxxc1015()cos4PMPFxcMPF由，可得122PFPFa0005()()284xcxcaxac数学试题（理科）答案第9页，共16页在△中，，，，12PFF208PFxca12210PFPFaa122FFc由余弦定理得2222112112122cosPFPFFFPFFFPFF即，化简得2224(8)(10)(2)21025aacac2540450ee，又，．故答案为．47e2e47e47三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（本小题满分12分）【解析】（1）在中，因为，，ABC2BCπ3ABC，……………………………………1分133sin22ABCSABBCABC所以，解得．………………………………………2分33322AB3AB在中，由余弦定理得，……4分ABC2222cos7ACABBCABBCABC因为，所以．…………………………………………………5分0AC7AC（2）设，则．………………6分ACDππ33ACBACD在中，因为，所以．……………7分RtACD23AD23sinsinADAC在中，，………………………8分ABCππ3BACACBABC由正弦定理得，即，……9分sinsinBCACBACABC223π3sin()sin32所以，所以，…………10分2sin()sin3312(cossin)sin22即，…………………………………………………………11分3cos2sin所以，即．……………………………………12分3tan23tan2ACD数学试题（理科）答案第10页，共16页18.（本小题满分12分）【解析】（1）证明：连接BD，设AE的中点为O，，，∵AB//CEAB=CE=12CD四边形ABCE为平行四边形，………………………………1分∴∴AE=BC=AD=DE，为等边三角形，……………………2分∴△ADE△ABE∴OD⊥AEOB⊥AE又，平面POB，平面POB…3分【注】无写出此步骤不得分。OP∩OB=OOD⊂OB⊂平面POB……………………………………………………………4分∴AE⊥又平面POB，．…………………………………………5分PB⊂∴AE⊥PB（2）【解法一】向量法在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，PQ⊥直线PB与平面ABCE夹角为，又，，∴∠PBO=π4OP=OB∴OP⊥OB、Q两点重合，即平面ABCE,……………6分∴OPO⊥【注】无证明此得分点不给分。以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图空间直角坐标系，则0,，0,，，0,，………………7分P(0,32)E(12,0)C(1,32,0)∴⃗PE=(12,‒32)⃗EC=(12,32,0)设平面PCE的一个法向量为y,，则，即,……………8分⃗n1=(x,z){⃗n1⋅⃗PE=0⃗n1⋅⃗EC=0{12x‒32z=012x+32y=0令，得………………………………………………9分x=3⃗n1=(3,‒1,1)又平面PAE，1,为平面PAE的一个法向量……………………10分OB⊥∴⃗n2=(0,0)设二面角为，则……11分A‒EP‒Cα|cosα|=|cos⃗n1,⃗n2|=|⃗n1⋅⃗n2||⃗n1||⃗n2|=15=55易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．…………12分A‒EP‒CA‒EP‒C‒55【解法二】几何法在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，PQ⊥直线PB与平面ABCE夹角为，又，，∴∠PBO=π4OP=OB∴OP⊥OB、Q两点重合，即平面ABCE，……………6分∴OPO⊥【注】无证明此得分点不给分。过点C作CH⊥AE交于点H，连结PH，则二面角A-PE-C与二面角H-PE-C互为补角。又因为CH⊥PO，所以CH⊥面PAE，过H作HF⊥PE交于点F，连结CF，由三垂线定理知CF⊥PE所以∠CFH为二面角H-PE-C的平面角。……………………………………………7分F数学试题（理科）答案第11页，共16页在Rt△CHE中，∠CEH=60°，CE=1，所以HE=，CE=，……………………8分1232在Rt△HFE中，∠FEH=60°，HE=，所以HF=……………………………………9分1234在Rt△CHF中，由勾股定理知CF=…………………………………………………10分154故cos∠CFH==……………………………………………………………………11分𝐻𝐹𝐶𝐹55所以二面角的余弦值为．………………………………………………12分A‒EP‒C‒5519.（本小题满分12分）【解析】（1）【解法一】记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；Ai={i=03}则与互斥………………………………………………………………………1分A2A3故所求概率为……………2分P(至少2人感兴趣)=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)………………………………3分=C23⋅C13C36+C33⋅C03C36；…………………………………4分=1020=12【解法二】记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；Ai={i=03}则与互斥………………………………………………………………………1分A0A1故所求概率为………2分P(至少2人感兴趣)=1-P(A0+A1)=1-P(A0)-P(A1)………………………………3分=1-C23⋅C13C36-C33⋅C03C36；…………………………………4分=1-1020=12（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3；………………………………5分ξ…………………………………………………………6分P(ξ=0)=C23⋅C24C25⋅C25=950………………………………………………7分P(ξ=1)=C12⋅C13⋅C24+C23⋅C14C25⋅C25=1225………………………………………………8分P(ξ=2)=C22⋅C24+C13⋅C12⋅C14C25⋅C25=310…………………………………………9分P(ξ=3)=C22⋅C14C25⋅C25=125则的分布列为：ξξ0123p9501225310125………10分【注】无列表此得分点不得分。数学期望为．………………………12分E(ξ)=0×950+1×2450+2×1550+3×250=65数学试题（理科）答案第12页，共16页20.（本小题满分12分）【解析】（1）当时，