《菱形的性质与判定》典型例题

1/5《菱形的性质与判定》典型例题例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且aABABDE,，求：（1）ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．例2已知：如图，在菱形ABCD中，ABCE于ADCFE,于F．求证：.AFAE例3已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，60EAFD，18BAE，求CEF的度数.例4如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且DFAD．求证：GH垂直平分CF．2/5例5如图，ABCD中，ABAD2，E、F在直线CD上，且CFCDDE．求证：AFBE．例6如图，在Rt△ABC中，90ACB，E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形．求证：AC与DE互相垂直平分3/5参考答案例1分析（1）由E为AB的中点，ABDE，可知DE是AB的垂直平分线，从而DBAD，且ABAD，则ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OCAOBDAC,，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BDACS解（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴.ABADE是AB的中点，且ABDE，∴.DBAD∴ABD是等边三角形，∴DBC也是等边三角形．∴.120260ABC（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴.212121aABBDOB∴aaaOBABOA23)21(2222，∴.32aAOAC（3）菱形ABCD的面积.23321212aaaBDACS说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2分析要证明AFAE，可以先证明DFBE，而根据菱形的有关性质不难证明DCFBCE，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD是菱形，∴DBCDBC,，且90DFCBEC，∴DCFBCE，∴DFBE，ADAB，∴DFADBEAB，∴.AFAE例3解答：连结AC.∵四边形ABCD为菱形，∴60DB，ADCDBCAB.4/5∴ABC与CDA为等边三角形.∴60,BACACDBACAB∵60EAF，∴CAFBAE∴ACFABE∴AFAE∵60EAF，∴EAF为等边三角形.∴60AEF∵CEFAEFBAEBAEC，∴CEF601860∴18CEF说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证ACFABE例4分析由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF．证明：∵四边形ABCD、BEDF都是长方形∴BFDE//，CDAB//，90BCDDFH，BCAD∴四边形BGDH是平行四边形∵DFAD，∴BCDF在△DFH和△BCH中BCDFBHCDHFBCHDFH∴△DFH≌△BCH∴BHDH，HCHF∵四边形BGDH是平行四边形∴四边形BGDH是菱形∴GH平分BHD∴GH平分FHC∵HCHF∴GH垂直平分FC．5/5例5分析要证AFBE，关键是要证明四边形ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明∵四边形ABCD是平行四边形∴CDAB//，CDAB，BHAG//，∴E1∵EDCD，∴EDAB在△ABG和△EDG中EDABE321∴△ABG≌△DEG∴GDAG∵ABAD2∴ABAG同理：BHAB∴BHAG∵BHAG//∴四边形ABHG是平行四边形∵BHAB∴四边形ABHG是菱形∴BEAF．例6分析要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形．所以要连结AD证明∵在Rt△ABC中，E为AB的中点∴BECEAE∵四边形BCDE是平行四边形∴ABCD//，BECD∴AECD//，∴四边形ABCE是平行四边形∵ECAE∴ADCE是菱形∴AC与DE互相垂直平分．