高中数学《二项式定理》公开课教案设计

二项式定理公开课教案（第一教时）一、教学目标1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对)6()(nban的二项式进行展开。2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开式的系数),,,2,1,0(NnnrCrn以及二项展开式的通项rrnrnrbaCT1；(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。二、教学重点与难点1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点：二项式定理的发现。（教具：多媒体课件）三、教学过程1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。问题2：若今天是星期一，再过)(8Nnn天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“nn)17(8被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(Nnban的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。）2、新授第一步：让学生展开baba1)(2222)(bababa；32232333)()()(babbaabababa；43223434464)()()(babbabaabababa5432234555510105)()()(babbababaabababa教师将以上各展开式的系数整理成如下模型1112113311464115101051问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2：以5)(ba的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式：nnnnnnbbababaaba33221)(（※）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7)(ba教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开100)(ba以及)()(Nnban呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4bababababa中第一个括号中的字母分别记成11,ba；第二个括号中的字母分别记成22,ba；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114bababababa4321aaaa………4a1432243134214321baaabaaabaaabaaa………ba3214331424132324142314321bbaabbaabbaabbaabbaabbaa………22ba3214421343124321bbbabbbabbbabbba………3ab4321bbbb………4b（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）问题1：以22ba项为例，有几种情况相乘均可得到22ba项？这里的字母ba,各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母ba,分别来自4个不同的括号，22ba项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？）问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：4322344))()()(()(babbabaabababababa括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理——板书课题：)()(222110NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn。3、深化认识请学生总结：①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）4、巩固应用【例1】展开①4)11(x②6)12(xx【例2】①求7)21(x的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。②求9)1(xx的展开式中含3x项的系数。变式：在二项式定理中，令xba,1，得到怎样的公式？nnnrrnnnnxCxCxCxCx2211)1(思考：?210nnrnnnnCCCCC为什么？?21nnrnnnCCCC【例3】解决起始问题：nnnnnnnnnnCCCC777)17(81110，前面是7的倍数，因此余数为1nnC，故应该为星期二。说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。②二项式定理的表达式以及展开式的通项，③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。五、布置作业（略）