MBA统计学07相关和回归分析

统计学─从数据到结论第七章相关和回归分析§7.1问题的提出对于现实世界，不仅要知其然，而且要知其所以然。顾客对商品和服务的反映对于企业是至关重要的，但是仅仅有满意顾客的比例是不够的；商家希望了解什么是影响顾客观点的因素，及这些因素如何起作用。类似地，医疗卫生部门不能仅仅知道某流行病的发病率，而且想知道什么变量影响发病率，以及如何影响。§7.1问题的提出发现变量之间的统计关系，并且用此规律来帮助我们进行决策才是统计实践的最终目的。一般来说，统计可以根据目前所拥有的信息（数据）来建立人们所关心的变量和其他有关变量的关系。这种关系一般称为模型（model）。§7.1问题的提出假如用Y表示感兴趣的变量，用X表示其他可能与Y有关的变量（X也可能是若干变量组成的向量）。则所需要的是建立一个函数关系Y=f(X)。这里Y称为因变量或响应变量(dependentvariable,responsevariable)，而X称为自变量，也称为解释变量或协变量(independentvariable,explanatoryvariable,covariate)。建立这种关系的过程就叫做回归(regression)。§7.1问题的提出一旦建立了回归模型，除了对变量的关系有了进一步的定量理解之外，还可以利用该模型（函数）通过自变量对因变量做预测（prediction）。这里所说的预测，是用已知的自变量的值通过模型对未知的因变量值进行估计；它并不一定涉及时间先后。先看几个后面还要讨论的数值例子。§7.1问题的提出例7.1有50个从初中升到高中的学生。为了比较初三的成绩是否和高中的成绩相关，得到了他们在初三和高一的各科平均成绩(数据在highschool.txt)。这两个成绩的散点图展示在图7.1中。50名同学初三和高一成绩的散点图初三成绩110100908070605040高一成绩100908070605040有个上升趋势；即初三时成绩相对较高的学生，在高一时的成绩也较高。但对于具体个人来说，大约有一半的学生的高一平均成绩比初三时下降，而另一半没有变化或有进步§7.1问题的提出目前的问题是怎么判断这两个变量是否相关、如何相关及如何度量相关？能否以初三成绩为自变量，高一成绩为因变量来建立一个回归模型以描述这样的关系，或用于预测。§7.1问题的提出该数据中，除了初三和高一的成绩之外，还有一个定性变量（没有出现在上面的散点图中）。它是学生在高一时的家庭收入状况；它有三个水平：低、中、高，分别在数据中用1、2、3表示。122711N=家庭收入321高一成绩110100908070605040303925122711N=家庭收入321高一成绩与初三成绩之差3020100-10-20-30为研究家庭收入情况对学生成绩变化的影响，下面点出两个盒形图，左边一个是不同收入群体的高一成绩的盒形图，右边一个是不同收入群体的高一和初三成绩之差的盒形图。•可以看出收入高低对高一成绩稍有影响，但不如收入对成绩的变化（高一和初三成绩之差）的影响那么明显。§7.1问题的提出到底学生在高一的家庭收入对成绩有影响吗？是什么样的影响？是否可以取初三成绩（这是定量变量）或（和）家庭收入（定性变量）为自变量，而取高一成绩为因变量，来建立一个描述这些变量之间关系的回归模型呢？§7.1问题的提出例7.2这是200个不同年龄和性别的人对某项服务产品的认可的数据（logi.txt）。这里年龄是连续变量，性别是有男和女（分别用1和0表示）两个水平的定性变量，而变量观点则为包含认可（用1表示）和不认可（用0表示）两个水平的定性变量（见下页数据）。想要知道的是年龄和性别对观点有没有影响，有什么样的影响，以及能否用统计模型表示出这个关系。年龄和观点的散点图年龄8070605040302010观点（0为认可，1为不认可）1.21.0.8.6.4.20.0-.2性别（0:女，1:男）1.00.00Count120100806040200OPINION.001.00年龄和观点的散点图(左)和性别与观点的条形图；§7.2定量变量的相关如果两个定量变量没有关系，就谈不上建立模型或进行回归。但怎样才能发现两个变量有没有关系呢？最简单的直观办法就是画出它们的散点图。下面是四组数据的散点图；每一组数据表示了两个变量x和y的样本。-3-2-1012-2-1012(a)xy-2-1012-2-1012(b)xy-2-1012-2-1012(c)xy-3-2-1012302468(d)xy不相关正线性相关负线性相关相关但非线性相关§7.2定量变量的相关但如何在数量上描述相关呢？下面引进几种对相关程度的度量。Pearson相关系数（Pearson’scorrelationcoefficient）又叫相关系数或线性相关系数。它一般用字母r表示。它是由两个变量的样本取值得到，这是一个描述线性相关强度的量，取值于-1和1之间。当两个变量有很强的线性相关时，相关系数接近于1（正相关）或-1（负相关），而当两个变量不那么线性相关时，相关系数就接近0。§7.2定量变量的相关Kendallt相关系数（Kendall’st）这里的度量原理是把所有的样本点配对（如果每一个点由x和y组成的坐标(x,y)代表，一对点就是诸如(x1,y1)和(x2,y2)的点对），然后看每一对中的x和y的观测值是否同时增加（或减少）。比如由点对(x1,y1)和(x2,y2)，可以算出乘积(x2-x1)(y2-y1)是否大于0；如果大于0，则说明x和y同时增长或同时下降，称这两点协同（concordant）；否则就是不协同。如果样本中协同的点数目多，两个变量就更加相关一些；如果样本中不协同（discordant）的点数目多，两个变量就不很相关。§7.2定量变量的相关Spearman秩相关系数（Spearmanrankcorrelationcoefficient或Spearman’sr）它和Pearson相关系数定义有些类似，只不过在定义中把点的坐标换成各自样本的秩（即样本点大小的“座次”）。Spearman相关系数也是取值在-1和1之间，也有类似的解释。通过它也可以进行不依赖于总体分布的非参数检验。§7.2定量变量的相关人们可能会问，上面的三种对相关的度量都是在其值接近1或-1时相关，而接近于0时不相关。到底如何才能够称为“接近”呢？这很难一概而论。但在计算机输出中都有和这些相关度量相应的检验和p-值；因此可以根据这些结果来判断是否相关(见下面例7.1的继续)。§7.2定量变量的相关例7.1（继续）得到初三和高一成绩的Pearson相关系数，Kendallt相关系数和Spearman秩相关系数分别为0.795,0.595和0.758。这三个统计量相关的检验(零假设均为不相关)全部显著，p-值都是0.000。注意这种0.000的表示并不表示这些p-值恰好等于零，只是小数点前三位是0而已。§7.3定量变量的线性回归分析对例7.1中的两个变量的数据进行线性回归，就是要找到一条直线来适当地代表图1中的那些点的趋势。首先需要确定选择这条直线的标准。这里介绍最小二乘回归（leastsquaresregression）。古汉语“二乘”是平方的意思。这就是寻找一条直线，使得所有点到该直线的豎直距离的平方和最小。用数据寻找一条直线的过程也叫做拟合（fit）一条直线。§7.3定量变量的线性回归分析例7.1（继续）根据计算，找到初三成绩和高一成绩的回归直线。计算机输出给出来截距（Constant）26.444和斜率(变量j3的系数)0.651。Coefficientsa26.4445.3964.901.000.651.072.7959.089.000(Constant)j3Model1BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.DependentVariable:s1a.405060708090100405060708090100J3S126.440.65yx截距=26.444;斜率=0.651§7.3定量变量的线性回归分析这个直线实际上是对所假设的下面线性回归模型的估计（这里的e是随机误差）：01yxe我们得到的截距和斜率（26.444和0.651）是对0和1的估计。§7.3定量变量的线性回归分析由于不同的样本产生不同的估计，所以估计量是个随机变量，它们也有分布，也可以用由他们构造检验统计量来检验0和1是不是显著。拿回归主要关心的来说，假设检验问题是0111:0:0HH计算机输出也给出了这个检验：t检验统计量为9.089，而p-值为0.000。§7.3定量变量的线性回归分析除了对的检验之外，还有一个说明自变量解释因变量变化百分比的度量，叫做决定系数（coefficientofdetermination，也叫测定系数或可决系数），用R2表示。对于例1，R2=0.632；这说明这里的自变量可以大约解释63％的因变量的变化。R2越接近1，回归就越成功。由于R2有当变量数目增加而增大的缺点，人们对其进行修改；有一修正的R2（adjustedRsquare）。§7.3定量变量的线性回归分析此外，计算机还计算了一个在零假设下有F分布的检验统计量，它是用来检验回归拟合好坏的（零假设是因变量和自变量没有关系）。ModelSummary.795a.632.6257.22091Model1RRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimatePredictors:(Constant),j3a.ANOVAb4307.20614307.20682.606.000a2502.7944852.1426810.00049RegressionResidualTotalModel1SumofSquaresdfMeanSquareFSig.Predictors:(Constant),j3a.DependentVariable:s1b.§7.3定量变量的线性回归分析和刚才简单的回归模型类似，一般的有k个（定量）自变量x1,x2…,xk的对因变量y的线性回归模型为（称为多元回归）01122kkyxxxe这里0,1,…,k称为回归系数。对计算机来说，计算多个自变量的回归和计算一个自变量的情况类似，计算机也会自动输出相应的检验结果。§7.3定量变量的线性回归分析并且用数据来拟合所选的一个模型时，并不一定所有的变量都显著(并不一定所有的系数都有意义)。软件有一种一边回归，一边检验的所谓逐步回归（stepwiseregression）方法。该方法或者从只有常数项开始，逐个地把显著的变量加入；或者从包含所有变量的模型开始，逐步把不显著的变量减去。注意不同方向逐步回归的结果也不一定相同。§7.4自变量中有定性变量的回归在例7.1的数据中，还有一个自变量是收入，但它是定性变量，以虚拟变量或哑元（dummyvariable）的方式出现。（这里收入的“低”，“中”，“高”，用1，2，3来代表）。如果要用这种哑元进行7.2节的回归就没有道理了。可以用下面模型描述：011012013,1,2,3yxxxeee代表家庭收入的哑元＝时，＝代表家庭收入的哑元＝时，＝代表家庭收入的哑元＝时。§7.4自变量中有定性变量的回归注意，哑元的各个参数1,2,3本身只有相对意义，无法三个都估计，只能够在有约束条件下才能够得到估计。约束条件可以有很多选择，一种默认的条件是把一个参数设为0，比如3=0，这样和它有相对意义的1和2就可以估计出来了。对于例7.1得到28.7080.68811.066,28.7080.6884679,28.7080.688,yxyxyx（低收入家庭），.（中等收入家庭），（高收入家庭）。Parame