第7章--一元一次不等式与不等式组-讲义

第7章一元一次不等式与不等式组1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“”、“”、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:①确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；②确定方向：大向右，小向左。说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．3．不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果ab,那么a+cb+c,a-cb-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果ab,并且c0,那么acbc（或___abcc）（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果ab,并且c0,那么acbc（或___abcc）不等式的对称性：如果ab，那么ba不等式同向传递性：如果ab，bc,那么ac说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a－b＞0，则a大于b；②若a－b＜0，则a小于b；③若a－b≥0，则a不小于b；④若a－b≤0，则a不大于b；⑤若ab＞0或0ab，则a、b同号；⑥若ab＜0或0ab，则a、b异号。任意两个实数a、b的大小关系：①a-bOab；②a-b=Oa=b；③a-bOab．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。4．一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．5．解一元一次不等式的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．aaaaxaxax≤ax≥a说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例：131321xx解不等式：解：去分母，得6)13(2)13xx（（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得62633xx（注意符号，不要漏乘!）移项，得23663xx（移项要变号）合并同类项，得73x（计算要正确）系数化为1，得37x（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）6．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．7．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．8.不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(ba)①bxax的解集是bx，如下图：②bxax的解集是ax，如下图：同大取大同小取小③bxax的解集是bxa，如下图：④bxax无解，如下图：大小交叉取中间大小分离解为空9．解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．10.不等式应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：⑴审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意的值；⑹作答。abababab例1.现计划把甲种货物1240t和乙种货物880t用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的函数关系式.(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35t和乙种货物15t,每节B型车厢最多可装甲种货物25t和乙种货物35t,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有几种方案?(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用.【分析】题(1)中总费用应该是A型车厢的费用和B型车厢的费用的总和.题(2)的要求是A型车厢的甲种货物最大装载量与B型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A型车厢的乙种货物最大装载量与B型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨.【解】(1)∵用A型车厢x节,则B型车厢为(40-x)节,得.322.0)40(8.06.0xxxy(2)依题意,得xx402535≥,1240xx403515≥.880解之,得24≤x≤.26∵x取整数，∴24x或25或26.∴共有三种方案:①24节A型车厢和16节B型车厢;②25节A型车厢和15节B型车厢;③26节A型车厢和14节B型车厢.(3)当24x时,2.27y万元;当25x时,27y万元;当26x时,8.26y万元;故安排方案③,即A型车厢26节,B型车厢14节最省,最省费用为26.8万元.【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.例2.某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.(1)设用x辆车装运甲种大蒜,用y辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围.(2)设此次运输公司的利润为M(单位:百元),求M与x的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案.大蒜规格甲乙丙每辆汽车的满载量/t81011运输每吨大蒜获利/百元2.22.12【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t；每种大蒜不少于一车.由题意可以列出方程和不等式.题(2)中运输公司的利润M是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和.【解】(1)∵用x辆车装运甲种大蒜,用y辆车装运乙种大蒜，∴装运丙种大蒜的车辆为(10―x―y)辆.根据题意，得10(11108yx―x―)y＝100，化简，得y＝－x3＋10.∵每种大蒜不少于一车，∴103x≥1，x≥1.解之得1≤x≤3.(2)根据题意，得M＝x82.2＋y101.2＋10(112―x―y)＝x6.17＋21(－10(22)103x－xx3+－)10＝－.2104.1x∵=k－,04.1∴M随x的增大而减小.又∵1≤x≤,3∴当x＝1时M有最大值.∴M最大＝－210+4.1＝6.208（百元）此时相应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜,用7辆车装运乙种大蒜,用2辆车装运丙种大蒜.【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.例3.我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:日平均风速)//(smv3v63v6v日发电量hkW/A型发电机0≥36≥150B型发电机0≥24≥90根据上面的数据回答：(1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为hkW；(2)已知A型风力发电机每台0.3万元,B型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元,而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000hkW,请你提供符合条件的购机方案.【分析】审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来,如一台A型发电机一年有60d的日发电量≥150hkW,有100d的日发电量≥36hkW,则可求出一台A型发电机的年发电量(最小值).题(2)要求提出符合条件的购机方案,因此,只要是符合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套.【解】(1)12600x(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机10(－)x台.根据题意，得xx102.03.0≤,6.2xx10780012600≥.102000解之得：5≤x≤.6∴可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6台，则购B型发电机4台.一分配问题1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。4.将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？5.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。⑴果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：⑵能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二速度、时间问题1爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三工程问题1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？2.用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？4.某同学要在4小时内，从甲地赶到相距15公里的乙地，他从甲地出发后，以每小时3公里的速度走了1小时，以后至少平均每小时要走多少公里，才能按计划到达乙地？5.一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?四价格问题1.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。(1)试求该商品的进价和第一次的售价；(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，