平行线截线段成比例与相似三角形性质

1【平行线分线段成比例】平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.ADl1BEl2CFl3（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.【基础典例】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则BFCF的值为（）A.21B.31C.41D.32如图，若DC∥FE∥AB，则有（）A.OEOCOFOD=B.OAOBOEOF=C.OBODACOA=D.OEODEFCD=如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）ABCDEABCDE2A.10B.13C.102D.132如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A.ABDFDAED=B.FBEFBCDE=C.BEBFDEBC=D.AEBCBEBF=【提高典例】已知：E是菱形ABCD的边DC上的一个点，AE交BC的延长线于F，EG∥AD交DF于G点，求证：EG=EC．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG如图在四边形ABCD中，E是对角线BD上一点，EF∥AD，EM∥BC，则=+BCEMADEFABCDFGE3如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）A．9cmB．14cmC．15cmD．18cm如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（）A．BC：DE=1：2B．BC：DE=2：3C．BC•DE=8D．BC•DE=6如图，▱ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：AB等于（）A．1：3B．1：4C．2：5D．3：8如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH等于（）A．1：1B．1：2C．2：1D．3：24已知点G是△ABC的重心，GP∥BC交AB边于点P，BC=33，则GP等于（）A.33B.3C.23D.332已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线交于F，且与对角线AC交于M．求证：BM•EF=BF•EM．已知：l1∥l2∥l3，nmBCAB.求证：nmmDFDE.已知：AB∥CD,EN∥CA,EM∥DB.求证：AN＝BM.已知：A、C、E和B、F、D分别是O两边上的点，且AB∥ED,BC∥FE.求证：OA·OD＝OC·OF如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD5等于（）A．1：1B．1：2C．2：3D．4：3变式：如图，已知AD是△ABC的中线，M是边AC上的一动点，=CMnAM，BM交AD于N点。⑴如图①，若1n，则=ANND。如图②，若2n，则=ANND。如图③，若3n，则=ANND。⑵猜想，ANND与n存在怎样的关系？并证明你的结论。⑶当n时，恰有ANCMNDAM变式：如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=31AD，CE交AB于点F．若AF=1.2cm，则AB=如图，AD是△ABC的边BC上的中线，E是AC边上的点，BE交AD于点G，且673==ADACAE，，求AG的长．6已知如图，点D是△ABC边BC上一点，且BD：DC=2：3，过点C任作一条直线与AB、AD分别交于点F和E，求证：BFAFEDAE35=变式：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F，已知ACAFnADAEmBCBD则,1,1==的值是已知：BD为△ABC边AC上的高，E为BC上一点，CE=2BE，∠CAE=30°，若EF=3，BF=4，则AF的长为变式：如图，在△ABC中，D，E为BC的三等分点，F为AC中点，BF分别交AD，AE于M，N两点。求证：BM∶MN∶NFNMFEDCBA7如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=+==nmnQCAQmPBAP11,,则如图所示，在△ABC中，已知BD=2DC，AM=3MD，过M作直线交AB，AC于P、Q两点．则=+AQACAPAB2如图，在△ABC中，E为AB边的中点，P为BE上一点，过点P作PQ∥BC交AC于Q，交CE于M，若PM=2，MQ=3，则BC=如图，点A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…，分别在射线OM，ON上．OA1=1，A1B1=2OA1，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．则A2B2=，AnBn=（n为正整数）．如图，已知五边形ABCDE中，AB∥ED，∠A=∠B=90°，则可以将五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有条；满足条件的直线可以这样确定：8FCDEAB如图，△ABC的面积是18cm2，D为AB上一点，且AD=4，DB=5，若△ABE的面积与四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积为cm2．如图，AD∥EF∥BC，10cmBCcm532===，，ADBEAE，则EF=变式：某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：EFCDAB111成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交9于点N，求FN：ND的值．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F分别是AB、AD的中点，直线EF分别交CB、CD的延长线于G、H，且BC：AD=7：4，AC=28，试求GH的长．如图，已知△ABC中，∠ABC=135°，过B作AB的垂线交AC于点P，若221==PBPACP，，求BC的长．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③EQ=DP；④∠AOB=60°；⑤当C为AE中点时，S△BPQ：S△CDE=1：3．⑥PCBQEQBP•=•其中恒成立的结论有如图，直线l交线段AB于点P，AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,M是AB的中点，求证：MC=BD10三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，求证：ACABDCBD=思考：已知在△ABC中，外角平分线AD交BC延长线于D。求证：【例3】已知：如图，△AOC中，∠AOC＝120°，∠AOC的平分线交AC边于B。求证：111OAOCOBOCBABDABDCACABCD1211MEGFDCBA第24题变式：如图，在ABC中，BADDAC，DFAB，DMAC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有2AEDDGCSS；（4分）（2）当t取何值时，DFE与DMG全等；（4分）（3）在（2）的前提下，若119126BDDC，228AEDScm,求BFDS（4分）