正弦函数余弦函数的图象-河南省优质课教学设计(陈琦)

普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章第四节§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象——教学设计作课：陈琦单位：河南师范大学附属中学-1-§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教材选择：普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章第四节作课：陈琦河南师范大学附属中学一、内容和内容解析1.内容正弦函数、余弦函数的图象2.内容解析本节的主要内容是在学习了弧度制、任意角的三角函数、三角函数线和诱导公式的基础上研究正弦函数、余弦函数的图象，为进一步学习函数的性质，函数)sin(xAy的图象及其性质做准备，有着承前启后的作用和意义.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：正弦函数、余弦函数的图象，“五点作图法”作简图.二、目标和目标解析1.目标（1）理解用三角函数线作sin,02yxx，图象的方法.（2）会根据正弦函数R,sinxxy的图象及关系式)2sin(cosxx，作出Rxxy,cos的图象.（3）熟练掌握用“五点作图法”作出正弦、余弦函数的简图，并会利用图形平移和对称变换解决一些有关问题.2.目标解析（1）明确函数作图的方法就是描点作图法，利用单位圆正弦线只是为了精确、方便，实质就是描点作图法.关键点作图法，即“五点作图法”一般适合于作简图，用以判断图象形状、得出函数性质和用于数形结合解题.（2）类比正弦函数图象的研究方法，余弦函数作图也需描点法，利用诱导-2-公式xxcos2sin和图形平移是为了方便并从中回顾初中所学的图形平移变换.适当补充类比正弦函数作图，利用单位圆余弦线作余弦函数图象的方法，也适当补充用“五点作图法”作有关余弦函数的简图.（3）关键点（最高点、最低点、零点、拐点）作简图，如本节的“五点作图法”，这种方法作出的是简图，从中看出图象形状、范围、性质，主要用于数形结合解决问题.图形的平移变换和对称变换，主要用于探究图形之间的变化关系，用于数形结合解题，今后碰到问题将进一步介绍.三、教学问题诊断分析学生已经学习了弧度制、任意角的三角函数、三角函数线、诱导公式以及正弦函数、余弦函数的定义和解析式，高一上期也已经学习了指数函数、对数函数和幂函数的图象，而正弦函数和余弦函数有自身的特殊性，因此在画正弦函数的图象这个环节，可能遇到的问题有：1.在取点后直接描点不精确，比如点23,3的纵坐标无法比较精确的标出，学生对于如何利用正弦线比较精确的表示任意角的正弦值理解不到位.2.由函数2,0,sinxxy的图象怎样得到函数4,2,sinxxy的图象，有些学生不清楚理论依据是什么，从而对如何扩展到整个定义域的图象也不是很清楚.3.教材中由正弦曲线和诱导公式xxcos)2sin(通过平移得到余弦曲线，是“突然”而不是“自然”的.一般学生在作余弦函数图象时仍然会想到描点法，而难以用跳跃性的思维想到利用诱导公式由图象平移作图.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何将“描点作图法”与利用单位圆正弦线作图自然结合，作出正弦曲线，如何把正弦曲线和余弦曲线通过诱导公式和平移变换联系起来.四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用ppt课件，快速、精确的平移正弦线绘制正弦函数图象，另外通过动态的演示，-3-观察相关函数图象之间的关系，研究图象的平移变换，进而探索余弦函数的图象.五、教学过程分析（一）创设情境回顾前面学习过的指数函数、对数函数和幂函数的研究流程：定义、解析式、函数图象、性质及应用.设计意图：采用类比的方式，不仅调动了学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备.（二）知识链接1.研究函数的一般流程是什么？2.描点法画图象的步骤是什么？3.正弦线的定义是什么？4.正弦函数与余弦函数的关系是什么？理论依据是什么？师：前面我们学习过指数函数、对数函数和幂函数，从中体会出研究函数的流程为：定义、解析式、函数图象、性质及应用，本章我们已经学习了正弦函数和余弦函数的定义及解析式，今天我们就一起学习正弦函数、余弦函数的图象.设计意图：通过复习研究函数的流程、描点法画图象的步骤及正弦线的定义为学习画正弦函数的图象奠定基础，同时提出问题，明确本节课的学习任务.（三）探究图象探究一：如何作出正弦函数的图象？1.描点法作图的三个步骤是什么？列表描点连线.2.先画sin,[0,2]yxx的图象，选取哪些点？作图准确吗？3.为了画出比较精确的正弦函数图象，如何比较精确的表示纵坐标？先让学生在2,0x内描点作图，学生尝试后一般会取0,,,,,,6432x基本能作出图象.教师先肯定学生的思维和方法的正确性，然后再指出不足和可以改进的几点：①把区间[0,2]12等分；②2322、是无理数，坐标描点不够精确.-4-设计意图：首先让学生独立画图，充分暴露学生存在问题，关注画图的基本步骤及每个细节的处理，培养学生画图象的能力，为再次画图，使学生及时巩固已获得的作图经验.回顾旧知：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有：MPrysin，OMrxcos向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识.探究二：如何得到函数4,2,sinxxy的图象?师生共同探讨如何扩展到整个定义域内的图象.利用诱导公式一：xkxsin)2sin(,只要将函数2,0,sinxxy的图象向左、右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数R,sinxxy的图象.-5-教师追问：观察函数的2,0,sinxxy图象，哪些点起关键作用？学生：图象的最高点：(2,1)、图象的最低点：(23,-1)、函数图象与x轴的交点：(0,0)、(,0)、(2,0)教师强调：在精确度要求不太高时，我们常常用“五点法”画函数的简图.探究三:如何得到余弦函数的图象？学生活动：先由学生独立思考、尝试画出函数2,0,cosxxy的图象，然后小组讨论交流，小组代表发言，其他同学补充或质疑.教师追问(1)：如作简图，哪种方法更简洁？教师设问(2)：如何解释正弦曲线与余弦曲线之间的关系？学生活动：学生尝试解释，教师及时点拨，并利用动画直观演示．设计意图：使学生经历类比正弦函数图象作图过程，体验知识的产生形成过程让学生自己去观察、类比、发现的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力；教师的追问引导学生从“数”、“形”两方面解决问题，让学生体会数形结合的思想.例题探究：画出下列函数的简图：(1)1sin,0,2yxx(2)cos,0,2yxx学生活动：由学生先尝试，然后学生代表展示成果.教师追问：函数1sin,[0,2]yxx与函数sin,[0,2]yxx的图象之间有何联系？如何解释？学生：初中学习过的图象变换可以来解释.-6-设计意图：通过两个题目巩固“五点作图法”作函数图象，通过例子，观察寻找图象变化和关系，指出图象之间的上、下平移和坐标轴的对称性.展示交流(1)在同一坐标系中，画出函数2sin,[0,2]yxx与函数2sin,[0,2]yxx的简图；(2)在同一坐标系中，画出函数2cos,[0,2]yxx与函数2cos1,[0,2]yxx的简图.学生活动：由学生先尝试，然后学生代表展示成果.设计意图：通过进一步的练习，以此巩固“五点作图法”和图象的变换方法.六.课堂小结这节课你有什么收获？有什么疑惑？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．教师：本节课我们学习了正弦函数、余弦函数的图象以及五点作图法.教师：同学们，观察正弦函数余弦函数的图象，我们可以发现，它们的图象不仅重复而且对称，不是平稳向前，而是有起有伏，“君看一叶舟，出没风波里”，就像我们的人生道路，起起伏伏，这些变化中一定蕴藏着某种规律.这就是我们下节课要学习的正弦函数、余弦函数的性质.设计意图：通过本环节，培养学生归纳概括的能力，通过动态的函数图象演示，对学生进行人生观和价值观的教育，给学生留下深刻印象.七.布置作业1.书面作业：课本第46页习题1.4A组第1题2.预习作业：课本第34页35页正弦函数、余弦函数的性质--周期性.设计意图：根据本节课教学的重点和难点，让学生在数学上都得到发展.预习作业有助于学生更好把握下节课的内容与本节课之间的联系.