4.小学数学学习概论(二)

1第四章小学数学学习概论（二）第一节数学知识学习的基本形式第二节数学技能学习的基本形式第三节数学问题解决的基本形式2本章内容提要数学知识包括数学概念与与数学规则（法则、定律、公式等）。数学概念学习的基本形式是概念的形成与同化，概念同化可分为类属同化、总括同化与并列同化。数学规则学习的基本形式是规则的发现学习与接受学习。数学技能包括数学智力技能与数学操作技能。数学智力技能的形成过程一般分为：活动定向、物质活动和物质化活动、出声的外部言语活动、不出声的外部言语活动、内部言语活动五个阶段，其基本学习方法是范例学习和尝试学习。数学操作技能的形成过程一般分为：定向、单个动作、连续动作、自动化四个阶段，其基本学习方法是范例学习。数学问题解决是指个体在新的情况下，对发现的新问题需要根据所获得的知识，采用新的策略去寻求答案的心理活动。小学数学问题解决多是属于人们已编制成的新的数学问题。问题解决有利于创造性思维，有利于数学发现。3第一节数学知识学习的基本形式数学知识概括为数学概念和数学规则（法则、定律、公式等）一、概念的形成与同化数学概念是反映一类数学对象的本质属性的思维形式。概念的学习可分为概念的形成与同化两种形式。4（一）概念的形成概念的形成是指学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，从实际经验的肯定中，概括它们的共同属性，提出共同属性的各种假设加以验证，从而获得初级概念，再把这一概念的本质属性推广到同一类事物之中，并用符号加以表示。如数概念的形成、乘法概念、除法概念等。抽象概括出共同的本质属性区别于原来已知的某些经验推广到同类事物用符号加以表示感知（包括动作）一类事物的具体例子比较分析图4一1概念形成模式一、概念的形成与同化5（二）概念的同化当学生在学习直接用定义（或“意义”）陈述概念时，能主动地利用原有认知结构中相应的旧概念与新概念之间的相互联系、相互作用，从而掌握新概念的本质属性，这种获得概念的形式叫概念的同化。一、概念的形成与同化给出定义（揭示本质属性）与原认知结构建立联系产生新概念形成新的认知结构图4-2概念同化模式概念的同化一般来说有三种方式。61．类属（下位）同化新概念在原有认知结构某些概念之中，通过学习新概念使学生对原有认知结构获得更深一层的认识。一、概念的形成与同化（二）概念的同化新概念原有概念A4123aaaa图4-3类属同化示意72、总括（上位）同化新概念总括与发展了原有认知结构中的相应概念，新概念与它们构成一种上位关系。上位同化通常是在归纳推理下进行的。一、概念的形成与同化（二）概念的同化原有概念A1234aaaa原有概念图4-3类属同化示意83．并列同化新学的概念与原有认知结构中的相应概念既非类属关系，又无总括关系，但它们在有意义的学习中仍有一定的联系，这种学习的同化称为并列同化。例如，学生已掌握了总价与数量、路程与时间、工作总量与工作时间等数量关系，现在又新学到稻谷量与出米量的关系，它们既不是类属关系也不是总括关系，但确有一些一般吻合的关系——比率，结合原有的概念的数量关系进行学习，可使新概念的数量关系获得意义（见图4-5）。一、概念的形成与同化（二）概念的同化新概念A→B→C→D原有概念图4-5并列同化示意9概念的形成和概念的同化，从其过程来看并不相同。概念形成主要依靠对具体事物的抽象。概念同化主要依靠新旧知识的联系，因此它的前提条件是学生必须具有与新概念有关系的认知结构，要找出新旧概念的连接点并区别其异同，再进行调节，最后把新概念纳入到原有认知结构之中并对它有更深一层的认识；或者对原有认知结构进行改组，重建成新的认知结构。所以我们可以这样说，如果把概念的形成作为发现学习，那么概念的同化就是接受学习。概念的形成往往与人类自发形成的概念相近，它适用于低年级；就学习内容而言，尤其适用于几何知识的学习。概念的同化则是具有一定心理水平的学生学习概念的方式，比较适合中高年级。实际教学过程中，概念的形成和概念的同化往往是结合起来使用的，这样既符合学生由具体到抽象的认识规律，又可利用原有的概念进行迁移，在较短的时间内揭示本质属性。一、概念的形成与同化10二、规则的发现与接受（一）数学规则的发现学习它是先呈现有关数学规则的若干例证，由学生自己观察分析，逐步概括归纳出一般的结论，从而获得规则的方法。第一节数学知识学习的基本形式序号长（厘米）宽（厘米）面积（平方厘米）1642428324312224……………………长方形面积=长×宽小学数学中很多规则都可以通过这种发现学习的方法获得。如加法、乘法交换律、小数移位规律等等。11（二）数学规则的接受学习接受学习是先呈现要学习的数学规则，然后用若干例证加以说明。这种方法的前提是学生对构成规则的有关数学概念已经掌握。第一节数学知识学习的基本形式例如：“一个最简分数的分母是只含有2，5的质因数的，就能化成有限小数；如果分母里除了含有2，5的质因数以外，还有其他的质因数，就不能化成有限小数。”以这一规律为依据对下列最简分数不通过计算直接判断能否化为有限小数：二、规则的发现与接受114056，概念接受学习的三种同化方式（类属同化、总括同化和并列同化）在规则的接受学习中同样存在。314，625，12第二节数学技能学习的基本形式一、数学技能及其种类技能、能力和知识是三个既有联系而又有区别的概念：技能是智力活动和操作活动的基本活动方式，反映的是动作本身和动作方式的熟练程度；能力是保证动作达到熟练，保证活动能够顺利完成的某些稳定的心理特征；知识则是对客观事物的特点、意义、结构以及它们相互之间联系的规律性的认识。例：385×99+385=385×(99+1)=385×100=38500数学技能是完成某些数学任务的智力或动作的活动方式。技能一般可分为智力技能和操作技能两大类。13智力技能主要指组成这类活动方式的动作是在头脑内部实现的，通过分析、综合、抽象、概括等逐步完成的；操作技能是指组成这类活动方式的动作需要通过人的头脑外部的机体运动或操作一定的对象来完成。小学数学的智力技能包括口算、笔算、解题、解方程等；小学数学的操作技能包括数字的书写，利用工具（直尺、三角板、圆规）作几何图形，利用工具测量角度、测量物体的长度、重量等等。第二节数学技能学习的基本形式一、数学技能及其种类14二、数学智力技能的形成过程与学习方法（一）数学智力技能的形成过程1、活动定向阶段这是准备阶段，任务是了解、熟悉活动，知道要“做什么”和怎么做，从而在头脑中建立起定向映象，而且这种了解应该是完全的、概括的比较系统。2．物质活动和物质化活动阶段所谓物质活动是指动作的客体是实际事物，所谓物质化活动是指活动不是借助于实际事物本身，而是以它的代替物如模拟的教具、学具，乃至图画、图解、言语等进行的。15图4-6相遇问题线段163．出声的外部言语活动阶段这一阶段是活动离开了它的物质或物质化的客体，以出声的外部言语形式来完成实在的活动。活动向言语转化，不仅意味着用言语来表达活动，而首先意味着在言语中完成了实在的活动。言语活动真正的优越性不在于脱离与实际的直接联系，而在于它必然为活动创造新的目标——抽象化，从而保证了活动的高度定型化，也保证了活动的迅速自动化。（一）数学智力技能的形成过程二、数学智力技能的形成过程与学习方法174．不出声的外部言语阶段这阶段不只是“言语减去声音”，而是以词的声音表象、动觉表象为基础的智力活动阶段。不出声的外部言语形式的活动的形成是活动向智力水平转化的开始，因此这一阶段在智力活动的形成过程中同样是十分重要的。（一）数学智力技能的形成过程二、数学智力技能的形成过程与学习方法185．内部言语活动阶段这是活动达到智力水平的最后阶段。由外部言语转化为内部言语，主要是用“自己的言语”进行思考，所以在结构上发生了较大的变化。（一）数学智力技能的形成过程二、数学智力技能的形成过程与学习方法19（二）数学智力技能的基本学习方法1．范例学习方法这是小学数学智力技能学习的主要方法。利用课本中的范例，将思维操作程序一步一步地呈现出来，使学生把握住解题的条件和步骤。二、数学智力技能的形成过程与学习方法202．尝试学习方法这种方法与范例学习方法不同，主要由学生自己去尝试探索解决问题的线索，并在不断修正错误中找出解决问题的途径。这种方法一般在学生已学会通用方法，在探究变式题时可以采用。如前例，学生已学会一般的笔算除法，在学习商中间带0的除法时，可用这种学习方法让学生试算。我们把原题被除数的342改为312，312÷3=?学生通过尝试商是14还是104，从尝试错误所提供的鉴别信息中，悟出得出正确结论的原因。这种学习方法比较费时间，但有利于培养学生主动学习、独立思考的能力。二、数学智力技能的形成过程与学习方法（二）数学智力技能的基本学习方法21三、数学操作技能的形成过程与学习方法（一）数学操作技能的形成过程1．定向阶段定向阶段指学生要了解与某种数学技能有关的知识和功用，了解动作的基本步骤、难度、要领、动作程序以及活动最后要达到的目标等。例如，测量一个角的大小，必须先理解什么是角，角的大小指哪部分，角的大小与所画的边长无关，量角器这一测量工具的使用方法；然后再了解量角的步骤、要领。2．单个动作阶段单个动作阶段指把整个的活动分解为若干个单个动作，并逐一进行练习，达到形成局部动作的技能。223.连续动作阶段连续动作阶段指把每一个动作技能按顺序连接起来，形成一个连贯协调的步骤。这时动作之间的相互干扰逐步得到排除，视觉、听觉的反馈逐步被动觉反馈所替代，动作已不那么紧张，多余的动作也明显减少，最后使整套动作能完整地完成。4.自动化阶段是数学操作技能的最后阶段。这时，意识的参与明显减少，意识只有当动作出偏差时才起作用。只要有启动的信息，可以自动地完成一整套的数学操作，学生可以自由分配自己的注意来完成全部动作了。全套动作协调一致、统一和谐、前后连贯，达到整体动作的自动化和完善化。三、数学操作技能的形成过程与学习方法（一）数学操作技能的形成过程23（二）数学操作技能的学习方法与智力技能不同，操作技能的学习方法一般就是范例学习方法。三、数学操作技能的形成过程与学习方法24四、两种数学技能的比较（一）在意识的控制程度方面的区别意识控制程度的减少是两种数学技能形成和熟练的主要标志，数学智力技能的熟练表现在心理资源的节约，意志努力程度的降低，最后思维简缩到连自己也觉察不到的自动化的程度。数学操作技能的熟练则表现在意识参与程度的减少，只有一个启动信息，全套动作便能自动和谐地完成。25（二）在动作程序形成方面的区别动作程序形成了动作单元组成的动作结构，这也是两种数学技能形成的特点。数学智力技能形成的程序表现为一种认知的“功能模块”，也就是由各环节构成的系统（如口算步骤等），但是更主要的是由外部活动向内部言语，最后达到思维过程的高度简缩。数学操作技能形成的程序表现为由单个动作连结为连续动作，多余动作逐步消失，注意力可以自由分配。四、两种数学技能的比较26(三）在活动速率和品质方面的区别技能熟练与否还以其速率及品质来决定。两种技能都要达到一定的速率，这是毋庸置疑的。而两者的活动品质有所不同，智力技能主要指思维方面的品质，表现为思维的正确、简约和灵活；操作技能主要指动作的品质，表现为动作的精确、娴熟与和谐。数学技能的形成和熟练还必须通过科学的练习。关于如何依据练习规律形成技能，将在第六章小学数学教学方法中进行阐述。四、两种数学技能的比较27第三节数学问题解决的基本形式一、数学问题解决的含义问题解决是近年来国际上（尤其是美国）提出的数学教育的行动口号。问题解决是指个体在一种新的情境下，根据获得的有关知识对发现的新问题采用新的策略寻求问题答案的心理活动。当然，数学问题解决是以数学问题为研究对象的，它可以提高学生的创造性思维，提高学生应用数学的意识，是近年来数学教育界研究的热点问题之一。28二、小学数学问题解决的特点小学数学问题解决具有以下几个特