因式分解最全培优题

八年级数学培优——因式分解知识介绍：多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法．本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（补充分组分解法和十字相乘法等）．一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘法中，学过几个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；下面再补充三个常用的公式：(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；练习：（1）1)2(2)2(22xxxx（2）66yx三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式=))((banm例2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习：（1）bcacaba2（2）1yxxy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx=)())((yxayxyx=))((ayxyx例4、分解因式：2222cbaba解：原式=222)2(cbaba=22)(cba=))((cbacba练习：（1）yyxx3922（2）yzzyx2222四、十字相乘法：（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数。练习：（1）24142xx（2）542xx（3）1522yy（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例6、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx练习：（1）6752xx（2）101162yy（三）二次项系数为1的齐次多项式例7、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba练习：(1)2223yxyx(2)2286nmnm（四）二次项系数不为1的齐次多项式例8、22672yxyx例9、2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy练习：（1）224715yxyx（2）8622axxa五、换元法：例10、分解因式2005)12005(200522xx解：设2005=a，则原式=axaax)1(22=))(1(axax=)2005)(12005(xx练习：222222)3(4)5()1(aaa精选练习：（1）qpqpm)(2（2）3223yxyyxx（3）234352xxx（4）22151112yxyx（5）10)(3)(2yxyx（6）226baba（7）344)(2baba（8）3424422yxyxyx（9）2222)(2)(11)(12yxyxyx（10）222416xx总结归纳：因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，学习本讲知识时，应注意以下几点：1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.因式分解的一般步骤是：通常采用一“提”、二“公”、三“其他”的步骤。即首先看有无公因式，其次看能否直接利用公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解、十字相乘等其他方法彻底分解；