高等代数II期中试卷

北京交通大学2017-2018学年第二学期高等代数II期中考试试卷答案一．填空题(每题3分,共30分)1.已知3R中的向量在基(1,0,1),(2,1,1),(1,1,1),下的坐标是(1,1,0)T,则在基(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)下的坐标是(1,1,0)T。2.已知线性空间4[]Px的两组基2312341,,,xxx和2312341,1,(1),(1)xxx，则由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵是1111123131。3.设线性变换A在基123,,的矩阵为101010010，线性变换B在基123,,下的矩阵为111011111，那么A+B在基2132,,下的矩阵为1202220411。4．已知三阶矩阵A满足03EA2EAEA，则1*62AA36。5.若矩阵32100000Ax有3个线性无关的特征向量，则x=0。6．复数域C上n阶上三角矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成实数域R上的线性空间,其维数是n(n+1)。7.设111是12533102a的特征向量，则a2．8．下列变换A中，是线性变换的有(C)(A)在3P中，A21231231((,,))(2,,)xxxxxxx；(B)在nnP中，A2(),nnAAAP；(C)在[]Px中，A(())(1)(0)fxfxf；(D)把复数域看作复数域上线性空间，定义A()1,aa其中a是任意复数。9.设线性变换A在基12,,...,n下的矩阵是A,向量在基12,,...,n下的坐标是12(,,...,)Tnxxx,则A()在该基下的坐标是12(,,...,)TnAxxx.10.以下断言正确的有(1)个。(A)平面上的向量关于下面定义的加法、数乘运算：1212112(,)(,)(,),(,)(,)xxyyxyxkxykxy构成实数域上的线性空间；(B)设是n维线性空间V上的线性变换，则1dim()dim((0))Vn；(C)nnR的两个子空间12,VV，其中1V是全体迹为0的n阶实方阵，2V是全体n阶实上三角阵，则和12VV是直和；(D)若两个同阶方阵,AB有相同的特征多项式，则A与B相似。二．（10分）设100010012A，33WBPABBA。求W的维数和一组基。解33000000000000011011WBPBB00,,,,abcdabcdePcede…7分维数是5，1112213122333233,,,,EEEEEEEE是一组基.……10分三．（10分）设112(,)WL，2123(,,)WL是线性空间4P的两个子空间，其中12(1,1,0,0),(0,1,1,1)；1(1,1,0,0)，23(1,0,1,0),(1,0,0,1)。(1)求12WW的维数和一组基；(2)求12WW的维数和一组基。解（1）1212123(,,,,).WWL12123,,,,的一个极大线性无关组是1212,,,。所以12WW的维数是4，一组基是1212,,,。....5分.（2）设12WW。则12123abcde，即101110111000010100010010abcde，解得1232aebecede。故12121211()()(2)22abeee，这样12WW12(2).L它的维数是1，一组基是122(1,3,2,2).....10分.四．（16分）设A是线性空间3P上的一个线性变换,且A101230（，，）（，，），A1-1-1=(11-1（，，），，），A112(121（，，），，）。（1）证明123(101,1,-1-1,112，，）（，）（，，）是3P的一组基;（2）求A在基123,,下的矩阵;（3）求A的值域的维数与一组基;（4）求A的核的维数与一组基。解(1)令123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则123123111(,,)(,,)011112。因为行列式11101110112，所以向量组123,,是3P的一组基;…3分（2）A123123211(,,)(,,)3120111123123123111211(,,)011312112011132211(,,)1113121210111165(,,)532844所以A在基123,,下的矩阵是1165532844。……9分(3)((2,3,0),(1,1,1),(1,2,1))((1,1,1),(1,2,1))AVLL它的维数为2，一组基是：(1,1,1),(1,2,1)……12分(4)1111223323111223323123211(0)3120011111()xAxxxxxxxxxxkxkkP它的维数为1，一组基是123(1,0,0)。……16分五．（14分）在线性空间22P上定义线性变换A如下：A2211(),02XXXP。（1）求A的特征值与特征向量（2）问A能否对角化？若能，试求出22P的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵。解(1)取22P的一组基1112212210010000,,,00001001EEEE，A在该基下的矩阵为112112A…4分求出A的特征根为1，1，2，2。…..5分对应特征值1，解齐次线性方程组0110.011X得基础解系1010,0101…..8分于是A的属于1的线性无关的特征向量是111221221222,,,EEEEEE；对应特征值2，解齐次线性方程组1100.110X得基础解系0010,0001…..11分于是A的属于2的线性无关的特征向量是1222,EE.（2）因为A有4个线性无关的特征向量，所以A能否对角化，且A在基111221221222,,,EEEEEE（特征向量的基和起来）下的矩阵为对角阵1122P…..14分六、（10分）若三阶矩阵010124xyzA有特征值1（二重）和3，且A可以对角化。求（1）,,xyz的值；（2）可逆矩阵P，使1PAP为对角形。解(1)由已知条件，可知010124xyzA与100010003B相似，所以14113(1)1xABrEA解得0,2,3xyz。………5分(2)对特征值1，解方程组(1)0EAX，得基础解系12(2,1,0),(3,0,1)TT对特征值3，解方程组(3)0EAX，得基础解系3(1,0,1)T令231100011P则1PAPB。………10分七、证明题（每小题5分，共10分）1.设12,分别是方阵A的属于特征值12,的特征向量。若12，证明1223不是A的特征向量。证明假设1223是A的特征向量，则1212(23)(23)A，即11222()3()0。因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以122()3()0，于是12，与题设矛盾。2．设n阶方阵A满足21,AAW是方程组0Ax的解空间，2W是方程组()0AEx的解空间，证明：12nWWP。证明关于nP中任何向量，有()AA，易知12(),,AWAW所以12nWWP。由2,AA知()()rArAEn，故1212dim()dim()dim()WWnWW从而12nWWP。