3.3直线的交点坐标与距离公式

知识点3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离在同一平面上，两直线存在哪些位置关系？思考：如何通过直线的方程判断两直线的位置关系？利用哪一个变量来判断呢？直线方程一般式：Ax+By+C=0两直线的位置关系：平行、重合、相交、垂直斜截式：y=kx+b一般式通过化简BCy=−x+AB如何利用斜率、截距来判断两直线的位置关系？两直线相交12kk1221ABAB两直线垂直121kk12211ABAB两直线平行12kk12bb1221ABAB1221ACAC两直线重合12kk12bb1221ABAB1221ACACBCy=−x+AB直线方程：y=kx+bA1l2lA思考：能够通过直线方程判断两直线的位置关系若判断出两直线相交（垂直），又如何求出交点的坐标呢？若点A(x0，y0)在直线l:Ax+By+C=0上将点A代入直线l方程中可以使等式成立，即Ax0+By0+C0=0若点A是两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点将点A分别代入两直线的方程，使得两个等式都能成立A1x0+B1y0+C1=0A2x0+B2y0+C2=0点A是两直线方程组的解求两直线交点的方法：一般地，将两条直线的方程联立，得方程组:①两直线相交，方程组有唯一解，此解即为交点坐标②两直线平行，无公共点，方程组无解③两直线重合，方程组有多个解。11122200AxByCAxByC解：解方程组例1:求下列两直线的交点坐标：1:3420lxy3420220xyxy22xy2:220lxy例2：求直线和的交点坐标1:340lxy2:6210lxy解：解方程组3406210xyxy无解∴两直线无公共点∴两直线的交点坐标是（-2，2）得：解：解方程组345068100xyxy例3：求直线和的交点坐标1:3450lxy2:68100lxy∵①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线∴两直线重合3.3.2两点间的距离思考:已知平面上两点P1(x1，y1),P2(x2，y2)如何求两点的距离|P1P2|呢？⑴1212,xxyy1212PPyy⑵1212,xxyy1212PPxx⑶1212,xxyy22122121PPxxyy一般地，任意一点到原点的距离为：,Pxy22OPxy⑶1212,xxyy例1:已知点A(-1,2)B(2,√7)，在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|，并求出|PA|的值。解：设P(x,0)2221(02)25PAxxx2222(07)411PBxxx由|PA|=|PB|得：2225411xxxx解得x=1所以所求点P(1,0)且|PA|=2√2例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和建立坐标系用坐标表示有关的量进行有关的代数运算把代数运算得结果，“翻译”成几何关系ADCBxy(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)1.求两直线交点的方法（联立方程组）通过直线方程判断两直线的位置关系2.平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离公式是21221221)()(||yyxxPP3.3.3点到直线的距离点到直线的距离如图，点P到直线的距离，就是指从点P到直线的垂线段PQ的长度，其中，Q是垂足。思考：已知点和直线,怎样求点到直线距离呢？00,Pxy:0lAxByC当时直线0A:0lByC当时直线0B:AxC0l记做记做1yy1xx01PQyy01PQxxl:Ax+By+C=0,AB≠0,外一点P0(x0,y0),过P0分别作x轴、y轴的平行线,交l于R(x1，y0),S(x0，y2),因为点R，S在直线l上，所以Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0即R(—,y0)，S(x0，—)By0+C∴|P0R|=|x1-x0|ACByAx||00|P0S|=|y2-y0|BCByAx||00AAx0+CBP0Q是Rt⊿P0RS斜边上的高由三角形面积公式可知当A=0或B=0时,此公式是否成立？|RS|=√|P0R|2+|P0S|2=|Ax0+By0+C|√A2+B2|A·B|xOP0QlySR(-,y0)By0+CA(x0，-)Ax0+CB|P0Q|·|RS|=|P0R|·|P0S|即|P0Q|=|Ax0+By0+C|√A2+B2点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离|Ax0+By0+C|√A2+B2d=P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：2200||BACByAxd点到直线的距离：练习1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.2.求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.3.3.4两平行线之间的距离(1)一般式中，如何判断两条直线平行？(2)若l1//l2，直线l1上任意一点到直线l2的距离有什么关系？ABCD若l1//l2求直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的距离的步骤：第一步：在直线l1:Ax+By+C1=0上任取一点P；（为了计算简便最好取坐标轴上的点）第二步：用点到直线距离公式求出点P到直线l2:Ax+By+C2=0的距离，即为所求。两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.两条平行直线间的距离：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是2221-BACCdyxol2l1QP1.平行线2x-7y-8=0和6x-21y-1=0的距离是______;2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.练习1.求两直线交点的方法（联立方程组）2.平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离公式是21221221)()(||yyxxPP1.求两直线交点的方法（联立方程组）2.平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离公式是21221221)()(||yyxxPP4.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是3.平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式是当A=0或B=0时,公式仍然成立.1222.CCdAB2200BACByAxd