高考真题理科数学计数原理

1/122012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题1．（2012年高考（天津理））在251(2)xx的二项展开式中,x的系数为（）A．10B．10C．40D．402．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．种D．种3．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种4．（2012年高考（重庆理））812xx的展开式中常数项为（）A．1635B．835C．435D．1055．（2012年高考（四川理））方程22aybxc中的,,{3,2,0,1,2,3}abc,且,,abc互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条6．（2012年高考（四川理））7(1)x的展开式中2x的系数是（）A．42B．35C．28D．217．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种8．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（）A．232B．252C．472D．4849．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为（）A．3×3!B．3×(3!)3C．(3!)4D．9!10．（2012年高考（湖北理））设aZ,且013a,若201251a能被13整除,则a（）A．0B．1C．11D．1211．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,aabbcc排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（2012年高考（北京理））从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（）A．24B．18C．12D．62/1213．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为（）A．1或3B．1或4C．2或3D．2或414．（2012年高考（安徽理））2521(2)(1)xx的展开式的常数项是（）A．3B．2C．D．二、填空题15．（2012年高考（浙江理））若将函数5fxx表示为250125111fxaaxaxax其中0a,1a,2a,,5a为实数,则3a=______________.16．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).17．（2012年高考（上海理））在6)2(xx的二项展开式中,常数项等于_________.18．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),xaaxaxaxaxax则012345aaaaaa___.19．（2012年高考（陕西理））5()ax展开式中2x的系数为10,则实数a的值为__________.20．（2012年高考（湖南理））(2x-1x)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)21．（2012年高考（广东理））(二项式定理)621xx的展开式中3x的系数为_________.(用数字作答)22．（2012年高考（福建理））4()ax的展开式中3x的系数等于8,则实数a_________.23．（2012年高考（大纲理））若1()nxx的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为___________.3/122012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题1.【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()rrrrTCxx=5-10-352(1)rrrrCx,∴103=1r,即=3r,∴x的系数为40.2.【解析】选A甲地由1名教师和2名学生:122412CC种3.【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460CC种;4个都是奇数:455C种.∴不同的取法共有66种.4.【答案】B【解析】8418811()()()22rrrrrrrTCxCxx,令404rr,故展开式中的常数项为4458135()28TC.【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项.5.[答案]B[解析]方程22aybxc变形得222bcybax,若表示抛物线,则0,0ba所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或cacaaca;(2)若b=3,2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或cacaaca以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当b=-2,或2时,共有23条;当b=1时,共有16条.综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.6.[答案]D[解析]二项式7)1(x展开式的通项公式为1kT=kkxC7,令k=2,则2273xCT、4/1221Cx272的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.7.解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428CA=种情形;当比分为3:2时,共有225220CA=种情形;总共有282030++=种,选D.8.【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414CCC种,若2色相同,则有14414241223CCCC;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314CCCC种,如同色则有72242314CCC,所以共有4727219214464,故选C.9.【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题.10.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012CCC,又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a13,所以a=12选D.11.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212.12.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618种,选B.【考点定位】本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.13.【解析】选D261315132C①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人14.【解析】选D第一个因式取2x,第二个因式取21x得:1451(1)5C第一个因式取2,第二个因式取5(1)得:52(1)2展开式的常数项是5/125(2)3二、填空题15.【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100aCaaaCaCaa.法二:对等式:2550125111fxxaaxaxax两边连续对x求导三次得:2234560624(1)60(1)xaaxax,再运用赋值法,令1x得:3606a,即310a.16.【答案】53【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344AA种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223ACCAC种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235AACACCApA.【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.17.[解析]展开式通项rrrrrrrrrrxCxxCT2666612)1(2)1(,令6-2r=0,得r=3,故常数项为1602336C.18.119.解析:5()ax展开式中第k项为555kkkkTCax-=,令2k=,2x的系数为23510Ca=,解得1a=.20.【答案】-160【解析】(2x-1x)6的展开式项公式是6631661C(2)()C2(1)rrrrrrrrTxxx.由题意知30,3rr,所以二项展开式中的常数项为33346C2(1)160T.[来源:数理化网]【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.6/1221.解析:20.621xx的展开式通项为621231661kkkkkkTCxCxx,令1233k,解得3k,所以621xx的展开式中3x的系数为3620C.22.【答案】2【解析】r414,3rrTCaxr∵∴时,34348,=2Caa∴【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力.23.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.【解析】根据已知条件可知26268nnCCn,所以81()xx的展开式的通项为818rrrTCx,令8225rr所以所求系数为5856C.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题24．（2012年高考（天津理））在251(2)xx的二项展开式中,x的系数为（）A．10B．10C．40D．4025．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由