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（1）对数学概念的认识（2）数学概念的学习形式（3）数学概念教学的基本途径（4）数学概念教学的组织策略（5）数学概念教学中应注意的问题（6）小学生构建数学概念能力的培养目录1、什么叫数学概念？（1）数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。或数学概念是反映一类对象在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式。（2）数学概念具有抽象性和概括性。（3）数学概念是数学学科的基石。小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。2、数学概念的构成（内涵与外延）（1）概念的内涵是概念所反映的对象共同本质属性的总和。例如，平行四边形的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边互相平行，对角线互相平分等。（2）概念的外延是概念所反映的所有对象的总和。例如，平行四边形的外延包括了一般的平行四边形，长方形、正方形、菱形。（3）概念内涵和外延的关系：概念内涵是概念的质的反映，概念外延是概念的量的反映。明确概念的内涵或外延的逻辑方法是对概念下定义。概念≠定义3、小学数学概念的分类◆概念的分类分类的三要素：种概念、属概念、分类标准。分类时往往把一个大类分成若干小类，大类称为种概念，小类称为属概念。例如，将三角形分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，三角形就是这种分类中种概念；锐角三角形、钝角三角形、直角三角形就是这种分类中的属概念。◆概念分类的原则（1）分类必须是相称的。分类所得的各个属概念的外延的并集应等于种概念的外延。例如，把整数划分为质数与合数，就违反了本规则，因为遗漏了“1”。（2）分类所得各个属概念应互相排斥。例如，对学生进行分类时，有学生将其分为纯小数、带小数、循环小数。这样的分类是不正确的，因为，纯小数可以是循环小数，带小数也可以是循环小数。（3）每次分类应按同一标准进行。例如，把三角形划分为等边三角形、等腰三角形、钝角三角形,这个划分是不正确的,因为这个划分中用了边、角大小的两个不同的根据。这就犯“标准不同一”的逻辑错误。（4）分类不能越级进行。分类应当按照被划分概念所反映的对象具有的内在层次逐一地进行。例如，“把实数划分为整数、分数、无理数”就犯了“越级划分”的逻辑错误。因为整数和分数与实数不是最邻近的各类关系。4、小学数学概念的表现形式（1）定义式定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。（2）描述式用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。在小学低年级通常采用描述式的方式来表示，而到了高年级则采用定义式来表示。5、数学概念教学的误区（1）“一个定义，三项注意”式抽象讲解普遍存在。（2）不注重概念教学的过程。忽视概念的引入和概念定义的抽象概括以及多角度的理解，而把重点方法概念的应用上。一些教师认为教概念不如多讲几道题目更实惠，这样的教学难以培养学生数学能力（3）不知道如何进行概念教学学习概念意味着去掌握一类事物的共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属性，能举出概念的正例和反例，能利用数学概念进行判断和推理、解决相应数学问题。学生获得概念有两种基本形式：概念的形成和概念的同化1.概念的形成概念形成就是指让学生对同类事物中若干不同例子进行反复感知、分析、比较和抽象，以归纳的方式概括出这类事物的本质属性，从而达到掌握这一概念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。概念形成的阶段可概括如下：概念形成的阶段：（1）观察概念实例（2）分析共同属性（3）抽象本质属性（4）确认本质属性（5）概括概念定义（6）符号表示（7）具体运用案例1：“函数”概念的形成过程：1、观察实例，写出变量间的关系表达式：（1）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶过的路程和时间（2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻（3）用表格给出的某水库的贮水量与水深。2、找出上例中两变量之间关系的共同本质3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）4、概括出函数定义5、练习巩固成形（1）背景引入；（概念引入要讲背景）（2）通过典型、丰富的具体例证（必要时要学生自己举例），引导学生开展分析、比较、综合的活动；（3）概括共同本质特征得到概念的本质属性（4）下定义（用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成）（5）概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考察；（6）概念的运用概念形成阶段的精确表述：（1）感知具体对象阶段（观察实例）观察数学概念的各种不同的肯定例证，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型事例。（2）尝试建立表象阶段（分析共同属性）分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。（3）抽象本质属性从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。并通过比较肯定例证和否定例证检验假设，确认本质属性。（4）符号表征阶段尝试地用语言或符号对对象进行特征的概括与表征，从而获得概念。（5）概念的运用阶段通过举出概念的实例，在一类事物中辩认出概念，或运用概念解答数学问题，使新概念与原有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性的联系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。概念引入的方法如下：◆概念形成教学过程中需注意：（1）提供的概念实例应该是正例，而且数量要恰当；（2）注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有趣例子；（3）让学生进行充分自主的活动，使他们经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律；（4）在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师应采取适当措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮没；（5）必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的和非人为的联系；（6）教师的语言中介作用很大，因为教师的语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括；（7）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤。2.概念的同化概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性。由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，必须：第一，新概念具有逻辑意义；第二，学生的认知结构中具备同化新概念的适当知识；第三，学生积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。◆概念同化的学习过程经历阶段：(1)揭示本质属性。给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。(2)讨论特例。对概念进行特殊分类，讨论各种特例，突出概念的本质属性。(3)新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。(4)实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知结构中有关概念精确分化。(5)具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。案例2：如“一次函数”的概念（1）给出名称、定义、符号：函数特例：等（2）把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较（3）用肯定、否定例证让学生辨认：Rbkbkxy,,其中0,,,ybyxykxy1,0,,1yybxyxy2,,3(0)yxyxayxa1、突出概念的关键特征呈现概念的定义，不仅要以正确的语言描述概念，更重要的是要突出概念的关键特征。2、呈现正例、反例、特例正例、特例在于强化本质属性，反例在于辨析，以便于从头脑中的已有概念分化。3、在应用中强化对概念的理解◆概念同化教学过程中要注意：（1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习的，所以应注意及时利用实例，使抽象概念获得具体例证的支持；（2）学习中必须经过概念分类这一步，使学生从外延角度进一步对概念进行理解；（3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定的智力动作，以防止出现知道概念的定义而不知如何将它用于解题的情况；（4）为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况；（5）一定要将所学概念纳入到已有认知结构中，形成概念系统。概念的引入——提炼定义——深化理解——概念运用1、概念的引入与定义的提炼包括了解新概念的必要性和合理性，初步揭示它的内涵和外延，给概念下定义。是概念学习的感性认识阶段。（1）原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。比如“针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是直观说明法，“1，2，3，···叫做自然数”是指明对象法。（2）对于用概念的形成来学习的概念一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。（3）对于用概念的同化来学习的概念（a）用属加种差定义的概念新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。（b）由概念的推广引入的概念讲清三点：推广的目的和意义；推广的合理性；推广后更加广泛的含义。（c）采用对比方法引入新概念当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。（d）根据逆反关系引入新概念多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。关键是讲清逆反关系。(4)发生式定义通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。小学常用的概念引入方法：•直观引入数学概念很抽象，而小学生对事物的认识，是从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级，逐步上升、逐步发展的。因此，我们在教学中，应该通过实物图像的直观性，联系儿童熟悉的事例或已有的知识，来形象地引进新的概念。如：1、平行线概念的学习2、角的学习3、轴对称图形概念的学习这样教师借助于直观教学，通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。•计算引入有的概念不便直观引入，但通过计算能使学生比较容易接受，这时就要采取计算引入的方法。如：循环小数的学习商不变规律的学习倒数概念的学习圆周率概念的学习这样，引导学生把大量的感性材料加以分析、综合，形成了概念。•运用旧知识引出新概念数学中的有些概念，往往难以直观表述。但它们与旧知识都有内在联系。教学时，要充分运用旧知识来引出新概念。总之，把已有的知识作为学习新知识的基础，以旧带新，再化新为旧，如此循环往复，既促使学生明确了概念，又掌握了新旧概念间的联系。1.整除约数——公约数——最大公约数倍数——公倍数——最小公倍数如：2.最简整数比——最简分数比的化简——分数的化简这样，学生在学习中，就能找出新概念与已有的相关概念的联系与区别，实现知识的迁移，同时也巩固了旧知识。.其他引入方法故事引入，猜谜引入等。如：1、小数点的移动引起小数大小变化2、倒数3、概念的深化理解是概念的理性认识阶段（1）帮助学生正确理解概念的本质属性①举反例②抓住关键词突出交代③抓住概念名称，符号进行讲解④分析概念成立的条件（2）充分揭示概念的内涵与外延（3）联系已有概念纳入概念系统：比较易混淆概念；阐明概念间的关系深化理解概念的方法如下：抓关键词有些概念往往是由若干个词或词组组成的定义。这些数学语言表述精确，