高等数学预备知识

1高等数学预备知识1．不同三角函数间的关系cossintansincoscotcos1secsin1csc1cossin221tansec221cotcsc222．加法公式（注意“”与“”）sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(cotcot1cotcot)cot(3．和差化积2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscoscoscos)sin(tantansinsin)sin(cotcotsincos)cos(cottan（注意符号）4．积化和差)]cos()[cos(21sinsin)]cos()[cos(21coscos)]sin()[sin(21cossin5．倍角公式2tan1tan2cossin22sin2222222tan1tan1sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tancot21cos2cot26．半角公式2cos12sin2cos12coscos1sinsincos1cos1cos12tancos1sinsincos1cos1cos12cot7．降幂公式)2cos1(21sin2)2cos1(21cos28．反三角函数（1）反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦反余弦反正切反余切若yxsin，则xyarcsin若yxcos，则xyarccos若yxtan，则xyarctan若yxcot，则xarcycot11x11xxx22yy022yy0（2）图像（附加）三角函数的图像31-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx（3）反三角函数的相互关系21arctanarccos2)arcsin(arcsinxxxxx21arctanarcsin2)arccos(arccosxxxxx21arcsincot23)arctan(arctanxxxarcxx21arccosarctan2)cot(cotxxxxarcxarc9．数列（1）等差数列通项公式：dnaan)1(1前n项和：dnnnanaaSnn2)1(2)(11（2）等比数列通项公式：11nnqaa4前n项和：qqaaqqaSnnn11)1(11（3）某些数列的和)1(21321nnn)1(2642nnn2)12(531nn)12)(1(613212222nnnn23333)321(321nn10．乘法与因式分解2222)(bababa3223333)(babbaaba))((22bababa))((2233babababa))((122321nnnnnnnbabbabaababa(n为正整数)))((122321nnnnnnnbabbabaababa(n为偶数)))((122321nnnnnnnbabbabaababa(n为奇数)11．不等式（1）有关绝对值的不等式||||||baba||||||||||bababa||||||||kbakba（（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)20(tansinxxxx)0(1sincosxxxx)0(1xxex)0,1(11xxxex)0(1lnxxx)0,1(1)1ln(xxxxxx)0,1(1)1(xxx（3）某些重要不等式①222abab，221()2abab；5②1()2abab，12121()nnnaaaaaan；（0,0,0,1,2,,iabain）③||||||||||ababab，11221122|()()()||||()||||()||||()|nnnnafxafxafxafxafxafxnaaanaaann2222121naaaaaannn2121))(()(121221niiniiniiibaba（柯西不等式）12．阶乘、排列、组合（1）阶乘nn321!)12(531!2)!12(!)!12(nnnnn（规定）1!00!!0)2(42!2!)!2(nnnn（2）排列)1()2)(1()!(!knnnnknnAkn123)2)(1(!nnnnAPnnn（3）组合!)!(!!kknnkACknkn（knC也记作kn）13．二项式定理与多项式定理二项式定理：nkkknknnnnnnnnnnnnnnbaCbCabCbaCbaCaCba011222110)(多项式定理：sqpnsqpnkbasqpnkba!!!!)(14．指数运算nmnmaaanmnmaaamnnmaa)(mmmbaab)(6mmmbabamnnmnmaaa)(mmaa1)0(10aa15．对数运算01loga1logaayxxyaaalogloglogyxyxaaalogloglogxbxabaloglog对数恒等式：xaxalogxaxalog换底公式：ayybbalogloglog1loglogabba数学中常见基本初等函数和初等函数：①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数称为基本初等函数。（ⅰ）幂函数：Raxya它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在,0x内总有定义。当Na或Nnna，121时，定义域为R。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（ⅱ）指数函数：10aaayx，它的定义域为，，值域为，0。指数函数的图形如图1-2所示．（ⅲ）对数函数10logaaxya，定义域为，0，值域为，。对数函数xyalog和指数函数xay互为反函数。其图形见图1-3。图1-1图1-2图1-37在工程中，常以无理数e＝2.718281828…作为指数函数和对数函数的底，并且记xxxeexlnlogexp，，而后者称为自然对数函数。对数运算：01loga，1logaa，yxxyaaalogloglog，yxyxaaalogloglog，xbxabaloglog。对数恒等式：xaxalog，xaxalog。换底公式：ayybbalogloglog，1loglogabba。（ⅳ）三角函数：三角函数有正弦函数xysin、余弦函数xycos、正切函数xytan、余切函数xycot、正割函数xysec和余割函数xycsc。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。（ⅴ）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数xyarcsin、反余弦函数xyarccos、反正切函数xyarctan和反余切函数xarcycot等．它们的图形如图1-5所示。图1-48（ⅵ）常量函数为常数cy（c为常数）定义域为，，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。②初等函数：通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，32sin13sin4sinlnxyxeyxyx，，，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数xysgn，取整函数xy等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。图1-6图1-59（Vii）分段函数：若一个函数在其定义域的不同部分，其对应法则f有着不同的初等函数表达式，则称此函数为分段函数。常见函数大家庭中主要成员：（常见的几种分段函数）①绝对值函数：0||000xxyxxxx；②符号函数：10sgn0010xyxxx；③取整函数：,1yxnnxn，nZ；④最大（小）值函数：例如22331{1,,}1111xxymaxxxxxx；⑤狄利克雷函数：1()0xyDxx为有理数为无理数。狄利克雷函数无法描绘出图像。