解三角形专题强化训练及答案

学习数学，领悟数学，秒杀数学。第三章解三角形77专题1解三角形之三板斧【例1】（2013•陕西）设ABC△，coscossinbCCBaA，则ABC△的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵coscossinbCCBaA，则由正弦定理可得2sincossincossinBCCBA，即2sinsinBCA，可得sin1A，故2A，故三角形为直角三角形，故选B．由于是选填，此题可以直接利用射影定理coscossinsin1abCcBaAA，会更快.【例2】（2008•山东）ABC△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量(3,1)m，,sinA(cosA)n，若nm，且coscossinaBbAcC，则角A、B的大小分别为（）A．6，3B．23，6C．3，6D．3，3【解析】12123cossin0sin3costan33mnxxyyAAAAAA.coscossinsin12aBbAccCCC，故6B.秒杀秘籍：一板斧射影定理在ABC△中，求证：coscosabCcB=+，coscosbcAaC=+，coscoscaBbA=+.证明：在ABC中，由CBA，得)(CBA.所以CBCBCBAsincoscossin)sin(sin.设ABC△的外接圆半径为R，由正弦定理得，BRcCRbCBRacos2cos2)sin(2，即BcCbacoscos.同理可证，coscosbcAaC，coscoscaBbA.图1图2图3几何解释：（1）当ABC△为直角三角形时（如图1），不妨设角B为直角，由直角三角形的边角关系得cosabC，又cos0B，所以coscosabCcB.（2）当ABC△为锐角三角形时（如图2）过点A作AD⊥BC,垂足为D.由直角三角形的边角关系得cosBDcB，cosCDbC，所以BcCbDCBDacoscos.（3）当ABC△为钝角三角形时（如图3），不妨设角B为钝角，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，由直角三角形边角关系得，cosDCbC，coscos()cosBDcABDBcB，所以，BcCbBcCbBDDCacoscos)cos(cos．学习数学，领悟数学，秒杀数学。第三章解三角形78【例3】（2013•辽宁）在ABC△，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，1sincossincos2aBCcBAb，且ab，则B（）A．6B．3C．32D．65【解析】11sincossincoscoscossin2226baBCcBAbaCcARbBBR，故选A．【例4】（2017•浙江模拟）在ABC△中，已知三边a、b、c满足()()3abcabcab+++-=，则∠C等于．【解析】()()21cos3abcabcabCab，故31cos2C，1cos2C，060C【例5】（2010•辽宁卷）在ABC△中，abc，，分别为内角A，B，C的对边，且2sin2sin2sinaAbcBcbC．（1）求A的大小；（2）求sinsinBC的最大值．【解析】根据正弦定理得222(2(2)abc)bc+bc，即222abcbc，故1cos1202AA．31sinsinsinsin(60)cossinsin(60)22BCBBBBB故当30B时，sinsinBC取得最大值1.秒杀秘籍：二板斧之灵动面积周长公式1．余弦定理推导式：22()()21cosabcabcabcabC，（把+ab当做一个整体）2．面积公式推导式：公式一：22222211()1sinsin()tan222cos4abcSabCCabcCC.222222212cos21cos=sin21cos2abcabCabcabCabcabSabCC，又公式二：22221sin1tan41cos42CCCSabcabc.（椭圆灵动焦点三角形面积公式）同理222221cos21cosabcabCabcabC，代入1=sin2SabC公式三：22221sin1141cos4tan2CCCSabccab.（双曲线灵动焦点三角形面积公式）学习数学，领悟数学，秒杀数学。第三章解三角形79【例6】（2011•新课标）在ABC△中，60B，3AC，则2ABBC的最大值为．【解析】32sinsinsinsin60ABBCACCAB，22sin2sin2sin4s2incaCAABBAABC，2(sin60coscos60sin)4sinAAA3cos5sinAA27sin()A，（其中3sin27，5cos)27所以2ABBC的最大值为27．故答案为27.注意：此题属于万能辅助角模型题，通常只需要用到222222cos1sin27caRBA即可．【例7】（2004•贵州卷）ABC△中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，ABC△的面积为32，那么b等于．【解析】法一（传统解法）：a、b、c成等差数列2acb，311sin6224SacBacac；故根据余弦定理222222223324cos31.22224acacbacbbacbBbacacac法二（利用灵动椭圆面积公式）：122222321sin13431.41cos421BSacbbbbB【例8】（2010•浙江卷）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC△的面积，满足2223()4Sabc．（1）求角C的大小；（2）求sinsinAB的最大值．秒杀秘籍：万能辅助角公式已知三角形的一个内角C，求sinsinBA或者sinsinBA公式四：4cossin22CCabRA+=+，()()2222cos1sin22cos10abRCBRCllljlll+=+++£++证明：()()sinsinsinsinsin1coscossinABAACACAC+=++=++22cossincoscossin2cossin222222sincos2cossincos222CCCCCAAACCCAA=+=+=+故：4cossin22CCabRA+=+22sinsinBsinsinsincoscossincossinsinABCBBCBCCCB，其中sintancosCC，故2sinsinB2cos1AC()()2sinsin2sincoscossinabRABRACAClll-=-=-+，注意cos0Cl-=的情况.学习数学，领悟数学，秒杀数学。第三章解三角形80【解析】（1）2222222221sin132()tan()tanC344cos2SabCSabcCabcabcCab，60C；（2）33sinsinsinsin120sincos3sin3022ABAAAAA，当60A，sinsinAB取得最大值3．【例9】（2007•全国卷）在ABC△中，已知内角3A，边23BC.设内角Bx，面积为y.（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值.【解析】3A，23BC，24sinaRA，2sin4sinbRBB，2sin4sincRCC，根据面积公式211232sin4sin4sin43sinsin6sincos23sin22323ySbcAxxxxxxx23sin236x，20,3x；当2623xx时，y取得最大值33.【例10】（2019•佛山质检）在ABC△中，角ABC、、、所对的边分别是abc、、，且1a=，23Ap=.当bc、变化时，bcl+存在最大值，则正数l的取值范围是．【解析】根据万能辅助角公式，()()232sinsinsinsin3bcRBCACClll+=+=++()()2223cossinsin3CCBlj=+++，其中sintancosAAjl=+，由于03Bp，故6pj，根据题意有sin331tan2.cos2132AAjlll==Þ+-秒杀秘籍：定比分线为定值的万能辅助角模型倍长定比分线，构造三角形用万能辅助角，如图，若P在边BC上，且满足PCBPl=，APm=，则延长AP至D,使PDAPl=，连接CD，易知AB∥DC，且DCcl=，则关于()2sinbcRlqj+=+来解决求最大值，或者求值问题；由于()12sinsinADAPRACDBACl+==，根据万能辅助角公式可得：()()112cossinsin22cos2APAPACDACDbcBACBAClllq+++=+£ÐÐ（只是模型，无需记忆此公式）请大家思考，如果是bmcl+呢？答案是()222cos1sinbmcRmmBAClqj+=-Ð++．学习数学，领悟数学，秒杀数学。第三章解三角形81【例11】（2018•景德镇期中）在ABC△中，23BAC，2AB，1AC，D是BC上一点，且2DCBD，则AD的值为（）A．73B．133C．273D．7【解析】如图所示，作AD延长线，使2DEAD=，显然24CEAB==，60ACEÐ=°,故根据余弦定理，可知2222cos13AEACECACECACE=+-，故1333AEAD==，故选B.例11题图例12题图【例12】（2019•石家庄模拟）在ABC△中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若coscos2coscBbCaA，2133AMABAC，且1AM，则2bc的最大值是．【解析】根据射影定理可得：1coscos2coscos602cBbCaAaAA，过C作AB的平行线，交AM延长线于D，212233AMABACMCBMCDc，且120ACDÐ=°，在ACD△中，223sin120ADR==°，根据万能辅助角222cos60sin6023sin6023bcRCADCAD，当30CAD时等号成立，故答案为23.秒杀秘籍：三板斧之米勒定理米勒定理：已知点M，N是AOBÐ的边OA上的两个定点，点P是边OB上的一动点，则当且仅当三角形MPN的外接圆与边OB相切于点P时，MPNÐ最大．证明：如图，设'P是边OB上不同于点P的任意一点，连结','PMPN，PN’交圆于点C,因为'MPNÐ是圆外角，MPNÐ是圆周角，易证'MPNMCNMPNÐÐ=Ð,故MPNÐ最大．根据切割线定理得，2OPOMON=×，即OPOMON=×，于是我们有：MPNÐ最大等价于三角形MPN的外接圆与边OB相切于点P2OPOMONÞ=×等价于.OPOMON=×学习数学，领悟数学，秒杀数学。第三章解三角形82【例13】（1986•高考）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两定点A、B，试在x轴的正半轴上求一点C，使ACB取得最大值．【解析】设点A的坐标为()