函数及表示高三第一轮复习

第二章函数概念与基本初等函数I§2.1函数及其表示内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空______设A，B是两个非空_____对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应数集集合任意任意知识梳理1答案名称称_________为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射f：A→B答案2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的.(2)函数的三要素：、和.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有、和.定义域值域定义域对应关系值域解析法图象法列表法答案3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.对应关系并集并集答案4.常见函数定义域的求法类型x满足的条件2nfx，n∈N*f(x)≥01fx与[f(x)]0logaf(x)(a0，a≠1)logf(x)g(x)tanf(x)f(x)≠0f(x)0f(x)0，且f(x)≠1，g(x)0f(x)≠kπ＋π2，k∈Z答案知识拓展1.函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广.2.函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.3.分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.()(3)映射是特殊的函数.()(4)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.()×××××思考辨析答案C1.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A.f(x)＝|x|B.f(x)＝x－|x|C.f(x)＝x＋1D.f(x)＝－x解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等.对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C.考点自测2解析答案123452.函数f(x)＝1log2x2－1的定义域为()A.0，12B.(2，＋∞)C.0，12∪(2，＋∞)D.0，12∪[2，＋∞)解析要使函数f(x)有意义，需使x0，log2x2－10，故f(x)的定义域为0，12∪(2，＋∞).C解得x2或0x12.解析答案123453.(2015·陕西)设f(x)＝1－x，x≥0，2x，x＜0，则f(f(－2))等于()A.－1B.14C.12D.32C解析∵f(－2)＝2－2＝14＞0，则f(f(－2))＝f14＝1－14＝1－12＝12，故选C.解析答案123454.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析A中函数定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.B解析答案123455.给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合.其中真命题的序号有________.解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.①②解析答案返回12345题型分类深度剖析例1(1)有以下判断：①f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中正确判断的序号是________.题型一函数的概念解析答案(2)设f(x)＝则f[f(ln2＋2)]等于()A.log515B.2C.5D.log5(3e2＋1)解析由题可知，自变量ln2＋23，故f(ln2＋2)＝4eln2＝8，f(8)＝log525＝log552＝2，即有f[f(ln2＋2)]＝2.B4ex－2x3，log53x＋1x≥3，解析答案思维升华(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()A.y＝x－1与y＝x－12B.y＝x－1与y＝x－1x－1C.y＝4lgx与y＝2lgx2D.y＝lgx－2与y＝lgx100解析A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D.D跟踪训练1解析答案(2)下列所给图象是函数图象的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.B解析答案命题点1求给定函数解析式的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()解析由题意知1－2x≥0，x＋30，解得－3x≤0，所以函数f(x)的定义域为(－3,0]，故选A.AA.(－3,0]B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0]D.(－∞，－3)∪(－3,1]题型二函数的定义域解析答案(2)函数f(x)＝lgx＋1x－1的定义域是()解析要使函数f(x)＝lgx＋1x－1有意义，需满足x＋10且x－1≠0，CA.(－1，＋∞)B.[－1，＋∞)C.(－1,1)∪(1，＋∞)D.[－1,1)∪(1，＋∞)得x－1，且x≠1，故选C.解析答案命题点2求抽象函数的定义域例3(1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2016]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是()A.[0,2015]B.[0,1)∪(1,2015]C.(1,2016]D.[－1,1)∪(1,2015]解析答案(2)若函数f(x)的定义域为(0,1]，则函数flgx2＋x2的定义域为()A.[－5,4]B.[－5，－2)C.[－5，－2]∪[1,4]D.[－5，－2)或(1,4]D解析∵函数f(x)的定义域为(0,1]，∴0lgx2＋x2≤1，即1x2＋x2≤10，则1x≤4或－5≤x－2，故选D.解析答案命题点3已知定义域求参数范围例4若函数的定义域为R，则a的取值范围为________.[－1,0]22()21xaxafx解析因为函数f(x)的定义域为R，所以222xaxa＋－-1≥0对x∈R恒成立，即222xaxa＋－≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.解析答案思维升华(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋12)＋f(x－12)的定义域是________.解析因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f(x＋12)＋f(x－12)中的自变量x需要满足0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，所以函数g(x)的定义域是[12，32].[12，32]解得：12≤x≤32，跟踪训练2解析答案(2)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为______________.解析由x＋10，－x2－3x＋40，得－1x1.(－1,1)解析答案例5(1)已知f(2x＋1)＝lgx，则f(x)＝______________.解析(换元法)令t＝2x＋1(t1)，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1).lg2x－1(x1)题型三求函数解析式解析答案(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.解析(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴a＝2，b＋5a＝17，解得a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.2x＋7解析答案(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(1x)·x－1，则f(x)＝________.解析(消去法)在f(x)＝2f(1x)x－1中，用1x代替x，得f(1x)＝2f(x)1x－1，将f(1x)＝2fxx－1代入f(x)＝2f(1x)x－1中，可求得f(x)＝23x＋13.23x＋13解析答案思维升华(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝______________.解析设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1.代入f(x＋1)＝x＋2x，得f(t)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1).x2－1(x≥1)跟踪训练3解析答案(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________________.解析当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1).－12x(x＋1)解析答案(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝_________________________________.解析当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1).23lg(x＋1)＋13lg(1－x)(－1x1)解析答案返回思想与方法系列典例(1)设函数f(x)＝ex－1，x1，x，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________.1313x解析当x1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln2，∴x1.当x≥1时，≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8].(－∞，8]思想与方法系列2.分类讨论思想在函数中的应用解析答案温馨提醒(2)(2015·山东)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B.[0,1]C.23，＋∞D.[1,＋∞)解析答案温馨提醒返回思想方法感悟提高1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解.方法与技巧1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中