专题10-三角形面积综合-中考数学二次函数压轴题核心考点突破

中物理三角形面积综合三角形面积综合最值问题定值问题等值问题1题型一：最值问题PyxOCBA【问题与方法】如图，抛物线223yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，使得△PBC面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．02【方法一】铅锤法取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．PyxOCBAQ根据题意得y=-（x-3）（x+1）则求得A（-1，0），B（3，0）C（0，3）根据B、C两点坐标得B、C水平距离为3，根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设P点坐标为（m，-m²+2m+3），则点Q（m，m+1），得PQ=-m²+2m+3-(m+1)=-m²+m+2，213127328²222mBmSPCm当12m时，△PBC面积最大，最大值为278．此时P点坐标为11524，【分析】以BC为底边，过点P向BC作垂线PH交BC于H点，求△PBC面积最大，在底边BC确定不变的前提下，PH最大即可．02【方法二】HABCOxyP过点P作PQ∥BC，当PQ与抛物线相切时，PQ与BC距离最大，即PH最大．如何求解P点坐标？（1）求BC解析式：y=-x+3；（2）根据PQ∥BC，可设PQ解析式：y=-x+m；（3）根据相切，联立方程：223xxxm，=0，可求m的值（4）根据P点坐标，即可求得△PBC面积的最大值．02【方法二】QPHyxOCBA但其实即便算出了P点坐标，求△PBC面积也还是要费点事~不过确为另一类最值问题提供了一种思路：03【最值衍生】如图，抛物线223yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC．（1）垂线段最值：过点P作PH⊥CB交CB于H点，求PH最大值及此时P点坐标．PyxOCBAH思路1：所谓PH最大，即△PBC面积最大，可用铅垂法求得△PBC面积最大值，再除以BC即可得PH最大值．思路2：过P点作PQ⊥x轴交BC于Q点，则△PHQ∽△BOC，PHPQBOBC，21BOPQPHPQBCk（k为直线BC的斜率）QHABCOxyP（2）相关三角形最值：过点P作PH⊥BC交BC于H点，作PQ⊥x轴交BC于Q点，求△PHQ周长最大值及面积最大值．QHABCOxyP思路：把握住△PHQ∽△BOC，不管是求周长最大还是面积最大，都可转化为PQ最大值．211HQPQk，21kPHPQk，周长、面积均可求．针对训练【2019聊城中考（删减）】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2yaxbxc与x轴交于点(2,0)A，点(4,0)B，与y轴交于点(0,8)C，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值．lABCDEFOPxy【分析】（1）228yxx；（2）根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-2x+8，设点P坐标为2,28mmm，则点D坐标为,28mm，故线段PD=-m²+2m+8-（-2m+8）=-m²+4m，当m=2时，PD取到最大值4，此时44555PF，855FD，14585162555PFDS．【2019高新区一模（删减）】如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)yaxaxaa与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线:lykxb与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且4CDAC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当ADE的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；xyABCDEO【分析】（1）点A坐标为1,0，点D坐标为4,5a，可得直线l的解析式为：y=ax+a．（2）用铅垂法根据最大面积反求参数a．设E点坐标为2,23mamama，作EF⊥x轴交AD于F点，则F点坐标为,mama，223252324EFamaamamaama∴当32m时，EF最大值为254a．△ADE面积最大值为125255244a，解得：25a．∴抛物线解析式为：2246555yxx．xyABCDEOE2题型二：定值问题【问题描述】如图，抛物线223yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．POABCxy思路1：铅垂法列方程解．根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为2,23mmm，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），222333PQmmmmm213332PBCSmm分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．POABCxyQ思路2：构造等积变形同底等高三角形面积相等．取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．Q2Q1P4P3P2yxCBAOP1当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：2235xxx，解之即可．当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：2231xxx，解之即可．【2019临沂中考（删减）】在平面直角坐标系中，直线2yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线2(0)yaxbxca经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）如图，当1a时，在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．xyBOA【分析】（1）点A坐标为（-2,0），点B坐标为（0,2），代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．当a=-1时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2．取点C（0,3）作AB的平行线，其解析式为：y=x+3，联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，故点1P坐标为（-1,2）取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，联立方程-x²-x+2=x+1，解得112x，212x．点2P坐标为12,2、点3P坐标为12,2．P3xyP1P2Q1Q2OAB（2018·武汉）抛物线L：2yxbxc经过点A（0,1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线40ykxkk与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值．ABOxyMN【分析】（1）解析式：221yxx；（2）考虑到直线过定点Q（1,4），且M、N均为动点，故考虑用割补法．BMNQBNQBMSSS，分别过M、N作对称轴的垂线，垂足分别记为G、H，11112222BMNNMSQBNHQBMGQBNHMGQBxx，考虑NMxx：联立方程：2214xxkxk，化简得2230xkxk，222438NMxxkkk，∴212812BMNSk，解得：13k，23k（舍）．故k的值为-3．QGHNMyxOBA3题型三：等值问题【问题描述】如图，抛物线223yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标．POABCxy思路1：铅垂法计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．思路2：构造等积变形过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点，另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点．先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标．yxCBAOP【2019凉山州中考】如图，抛物线2yaxbxc的图象过点(1,0)A、(3,0)B、(0,3)C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得PAMPACSS？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．ABCOxy【分析】（1）抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；（2）将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点C’（2,3），连接AC’，与对称轴交点即为所求P点，可得P点坐标为（1,2），△PAC的周长亦可求．（3）过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解；记AP与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D，过点D作AP的平行线，与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点，联立方程得解．QDM2M1ABCOxyP4总结本篇总结：最值问题用铅垂，定值等值构等积．5作业面积与二次函数18．（2018•武汉）抛物线2:Lyxbxc经过点(0,1)A，与它的对称轴直线1x交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线4(0)ykxkk与抛物线L交于点M、N．若BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移(0)mm个单位长度得到抛物线1L，抛物线1L与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线1L于另一点D．F为抛物线1L的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若PCD与POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．4定2动：直角三角形已知直角构造直角边成比例代数法计算面积最值23．（2018•常德）如图，已知二次函数的图象过点(0,0)O．(8,4)A，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线3x．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作//MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q．过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．代数法计算面积最值平行线得相等角29．（2018•德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线1yx与抛物线2yxbxc交于A、B两点，其中(,0)Am、(4,)Bn，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角APM和等腰直角DPN，连接MN，试确定MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．THANKS“”