二次函数图象上点的存在性问题

二次函数图象上点的存在性问题学习内容1函数图象上点的存在性问题中的全等、相似与角度2函数图象上点的存在性问题中的距离与面积3函数图象上点的存在性问题中的三角形与四边形全等、相似与角度板块一：二次函数与一个角技巧和方法：1在抛物线上找点，满足特殊角。2用角来刻画直线和抛物线的位置关系。例1如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，是否存在点P，使∠POx为45°，若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由。(只讨论x正半轴）解：因为∠POx为45°，点P为抛物线y＝x2上一动点，设P(m，m2)易得m=m2所以，m=0(舍去)或m=1P(1，1)例2如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(0.25，0)，是否存在点P，使∠PAx分别为45°或30°？若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由。解：当∠POx为45°时，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(0.25，0)，所以直线AP：y=x-0.25;联立y=x-0.25y＝x2得x=0.5，所以P(0.5，0.25)；当∠POx为30°时，同理可联立方程，此时⊿﹤0，P点不存在。例3如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(1，0)，若点P使∠PAx最小，请求出点P的坐标。解：当点P为切点时，∠POx最小，因为点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(1，0)；设直线PA的解析式为y＝kx+b即y＝kx-k联立方程y＝kx-k和y＝x2，因为相切，所以方程kx-k=x2⊿=0，所以k=4,所以P(2，4).例4二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，在二次函数的图象上是否存在点P，使得∠PAC为锐角？若存在，请你求出P点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。找临界点，利用相似找临界点，利用相似解：由解析式易得A（-1，0）B（3，0）C（0，-3），做直线AP垂直于AC，过点P做x轴的垂线交于点Q，根据相似模型易得△AOC∽△PQA(AA)，设P（m,m2－2m－m),m+1=3(m2－2m－m)得m=-1（舍去）或因此可得P的取值范围为-1﹤xp﹤0或0﹤xp﹤PQ例5如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2上一动点，点A的坐标为(4，2)，若使∠AOP＝45°，请求出点P的坐标。利用双垂直，构造全等三角形利用等腰三角形的性质解：过点A作AK⊥OA，AK=OA，得到等腰直角三角形AKO，连接O、K交二次函数于点P，过点A做垂线MN，分别在x轴和线段KM上。点A的坐标为(4，2)，根据双垂直模型易得△AOM≌△KAN(AAS)，所以KN=AM=2，OM=AN=4，所以K（2，6），直线OK：y=3x联合函数y＝x2可得P（3，9）PKMN练习：(2009—2010昌平二模)如图，抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+3x+4;(2)如图，∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=-m2+3m+4，即m2-2m-3=0，∴m=-1或m=3，∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，4），由（1）知OC=OB，∴∠CBA=45°，设点D关于直线BC的对称点为点E,∵C（0，4），D（3，4），∴CD∥AB，且CD=3，∴∠ECB=∠DCB=45°，∴E点在y轴上，且CE=CD=3，∴OE=1，∴E（0，1），即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；解：(3)如图，作PF⊥AB于F，DE⊥BC于点E，由（1）有：DB=OC=4，∴∠OBC=45°，∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBA，∵C（0，4），D（3，4），∴CD∥OB且CD=3，∴∠DCE=∠CBO=45°，∵OB=OC=4，∴BC=设PF=3t，则BF=5t，∴OF=5t-4，∴P（-5t+4，3t），∵P点在抛物线上，∴P()全等、相似与角度板块二：二次函数与多个角技巧和方法：在抛物线上找点，满足两角和(差)关系。例1二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，在二次函数的图象上是否存在点P，使锐角∠PCO＞∠ACO？若存在，请你求出P点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。找临界点，利用相似或全等解：由解析式易得A（-1，0）B（3，0）C（0，-3），使锐角∠PCO＞∠ACO，则临界状态如图所示：做直线CM使∠ACO=∠MCO，直线CN⊥OC，易证△AOC≌△DOC(SAS)，所以D（1，0）N（2，-3），所以直线CM：y=3x-3，联合函数y＝x2－2x－3可得M（5,12）因此可得P的取值范围为-1﹤xp﹤0或2﹤xp﹤5DMN距离与面积板块一：探索抛物线上的点存在性之距离1二次函数与线段定值技巧和方法：用距离来刻画动点的位置2二次函数与线段最值技巧和方法：利用“两点间线段最短”和“垂线段最短”以及“配方法”例1抛物线y＝-x2-2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：∵y=-x2-2x＋3，∴对称轴x=-22=-1∴P（-1，a），当x=0,y=3,∴C（0，3）,M（-1，0）∴当CM=PM时，(-1)2+32=a2,解得a=±10，∴P点坐标为：P1（-1，10）或P2（-1，-10）当CP=PM时，(-1)2+(3-a)2=a2,解得a=53，∴P点坐标为：P3（-1，53）当CM=CP时，(-1)2+32=(-1)2+(3-a)2,解得a=6，∴P点坐标为：P4（-1，6）综上，符合条件的点的坐标为P(-1,10)或P(-1,−10)或P（-1,53）或P(-1,6）例2抛物线y＝-x2-2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到对称轴和y轴的距离相等，求P点坐标。解：∵y=-x2-2x＋3，∴对称轴x=-22=-1设P（m，n），P到对称轴的距离为m+1,P到y轴的距离为-m,则m+1=-m，∴m=-12，代入抛物线解析式得n=154∴P点坐标为：P（-12，154）例3(2010苏州)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B。已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)。⑴求抛物线的解析式；⑵设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧。若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2＋PB2＋PM2＞28是否总成立？请说明理由例3(2010苏州)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B。已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)。⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2＋PB2＋PM2＞28是否总成立？请说明理由解：(1)（1）设y=a(x-3)2，把B（0，4）代入，得a=（2）∵m，n为正整数∴(m-3)2应该是9的整数，∴m是3的倍数，又∵m3，∴m=6，9，12...，当m=6时，n=4，此时MA=5，MB=6，∴四边形OAMB的四边长为3，4，5，6，当m≥9时，MB6，∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数，∴点M坐标只有一种可能（6，4）；（3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，距离与面积板块二：探索抛物线上的点存在性之面积最值例1抛物线y＝-x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标。解：如图所示，过点E做x轴的垂线，由解析式易得A（1，0）B（-3，0）C（0，3）LBC:y＝-x＋3设E（m，-m2－2m＋3），F（m，-m＋3）EF=-m2－m三角形BEF的面积=0.5×EF×BO=-（m+）2+所以四边形BOCE面积的最大值为FG例2如图，抛物线y＝-x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，线段BC向上平移3个单位得到对应线段B′C′，抛物线上一动点P(点P在平行四边形BCC′B′中)，是否存在点P，使得S△PBC－S△PB′C′的值最大。解：线段BC向上平移3个单位得到对应线段B′C′,所以四边形BCB′C′是平行四边形，由平行四边形的性质可知△PBC和△PB′C′的面积之和是一个定值，所以如使得S△PBC－S△PB′C′的值最大，即保证S△PBC面积最即可。解法如例1，最后P（-，）FE三角形与四边形板块：抛物线上的特殊图形等腰三角形，等边三角形，平行四边形等例1已知抛物线y＝x2－2x－3的的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，若△DPQ是等边三角形，求△DPQ的面积。解：根据y＝x2－2x－3可得D（1，-4），因为△QPD是等边三角形，所以直线DQ的斜率为，因为D（1，-4），所以lDQ:y＝x-4-,与二次函数y＝x2－2x－3联立起来解方程，可得xQ=1+HQ=DQ=2等边三角形的面积为3HPQ例2已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．解：(1)抛物线解析式为y=-x2-2x+3；(2)其对称轴为x=-1，∴设P点坐标为（-1，a），当x=0时，y=3，∴C（0，3），M（-1，0）∴当CP=PM时，（-1）2+（3-a）2=a2，解得a=，∴P点坐标为：P1（-1，）；∴当CM=PM时，（-1）2+32=a2，解得a=±10，∴P点坐标为：P2（-1，10）或P3（-1，-10）；∴当CM=CP时，由勾股定理得：（-1）2+32=（-1）2+（3-a）2，解得a=6，∴P点坐标为：P4（-1，6）综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（-1，10）或P（-1，-10）或P（-1，6）或P（-1，）；解：(3)过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0）∴EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a∴S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF=（a+3）•（-a2-2a+3）+（-a2-2a+6）•（-a）=-(a+)2+∴当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（-，）．例3抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．解：(1)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．(2)①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b,把B（3，0），C（0，3）分别代入得直线BC的函数关系式为：y=-x+3．当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=-m+3，∴P（m，-m+3）．在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当