指数函数、对数函数、幂函数讲义

1指数与指数函数知识要点1.指数（1）n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n为奇数时，nna=a.②当n为偶数时，nna=|a|=).0(),0(aaaa（3）分数指数幂的意义①anm=nma（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.②anm=nma1=nma1（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象OxyOxyy=ax11a）1y=ax((0＜a＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（3）指数函数的性质①定义域：R.②值域：（0，＋∞）.③过点（0，1），即x=0时，y=1.④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数.2经典例题1.3a·6a等于A.－aB.－aC.aD.a2.函数y=23x的图象与直线y=x的位置关系是OxyOxyOxyOxyABCD3.若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0＜a＜1且b＞B.a＞1且b＞0C.0＜a＜1且b＜0D.a＞1且b＜04.函数y=－ex的图象A.与y=ex的图象关于y轴对称B.与y=ex的图象关于坐标原点对称C.与y=e－x的图象关于y轴对称D.与y=e－x的图象关于坐标原点对称5、下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是Oxy1(1)(2)(3)(4)A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c6、若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.7、函数y=（21）222xx的递增区间是___________.38、已知2xx2≤（41）x－2，求函数y=2x－2－x的值域.9、要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.基础练习1、已知f（x）=ax，g（x）=－logbx，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，则y=f（x）与y=g（x）的图象（）A.关于直线x+y=0对称B.关于直线x－y=0对称C.关于y轴对称D.关于原点对称2、下列函数中值域为正实数的是A.y=－5xB.y=（31）1－xC.y=1)21(xD.y=x213、函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为A.41B.21C.2D.44、aaaa。5、化简3421413223)(abbaabba（a＞0，b＞0）的结果是___________________.6、满足条件m2m＞（mm）2的正数m的取值范围是___________________.7、已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（41）x－1－4（21）x+2的最大值和最小值.4能力提高8、若a2x+21·ax－21≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3·ax+4的值域.9、解方程4x+|1－2x|=11.创新能力10、若关于x的方程25－|x+1|－4·5－|x+1|－m=0有实根，求m的取值范围.能力拓展1若60a＝3，60b＝5.求12)1(21bba的值.2方程2x=2－x的解的个数为______________.5对数与对数函数概念1.对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.易得:logaNaN——对数恒等式2.指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。3.对数运算性质:①loga（MN）=logaM+logaN.②logaNM=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④换底公式：logbN=bNaaloglog（0a≠1，0b≠1，N＞0）.4.对数函数：（1）定义：y=logax（a＞0，a≠1）叫对数函数，x是自变量，y是x的函数。对数函数与指数函数是互为反函数;（2）对数函数的图象Oxyy=logxaOxyaay=logxa11110(())（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.5、对数函数与指数函数的关系对数函数logayx与指数函数xya互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。6、重难点问题探析：（1）、对数函数性质的拓展（Ⅰ）同底数的两个对数值)(logxfa与)1,0)((logaaxga的大小比较若0)(,0)(,1xgxfa，则0)()()(log)(logxgxfxgxfaa6若0)(,0)(,10xgxfa，则)()(0)(log)(logxgxfxgxfaa（Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1）xyalog，（2）xyblog，（3）xyclog，（4）xydlog则作直线1y得badc10，即图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大。（2）、常见对数方程或对数不等式的解法①形如)1,0)((log)(logaaxgxfaa转为)()(xgxf，但要注意验根对于)(log)(logxgxfaa，则当1a时，得)()(0)(xgxfxg；当10a时，得)()(0)(xgxfxf②形如0)(logxFa或)0)(log(0)(logxFxFaa的方程或不等式，一般用换元法求解。③形如cxgxf)(log)(的方程化为)()]([xgxfc求解，对于cxgxf)(log)(的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决。经典例题例1(1)若60a＝3，60b＝5.求12)1(21bba的值.(2)已知315a=55b=153c,求证:5ab-bc-3ac=07例2、(1)求函数：)(log)1(log11log)(222xpxxxxf的值域.(2)设m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在区间［－2，2］上变化时，m值恒正，求x的取值范围.例3已知函数()lg()xxfxab(1,01)ab，（1）求f(x)的定义域；（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？（3）当a、b满足什么条件时f(x)恰在),1(取正值.例4设a＞0，a≠1，f(x)＝loga(x+1x2)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数的反函数f-1(x)；(3)若方程f(x)＝loga(2x+ak)有实数解，求k的取值范围。8【研讨.】设函数f(x)=loga(x－3a)(a0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围解:(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y即x=x′+2a,y=－y′∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=logaax21,∴g(x)=logaax1(2)由题意在［a+2,a+3］上x－3a≥(a+2)－3a=－2a+20;又a0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－logaax1|=|loga(x2－4ax+3a2)|而|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴22143axaxaa又a+22a.知u(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为增函数，∴只需2222011(3)4(3)3(2)4(2)3aaaaaaaaaaa解得0＜a≤12579,∴所求a的取值范围是0＜a≤12579方法提炼(1).求对称图象的函数解析式的方法;(2).先去绝对值,再利用单调性列不等式组求a的取值范围.练习1、（1）____________50lg2lg5lg2；（2）)223(log)12(_____________2、函数()yfx的图像与函数3log(0)yxx的图像关于直线yx对称，则()fx__________。3、设3()log(6)fxx的反函数为1()fx,若11()6()627fmfn,则()fmn________.94、已知18log9a，185b，则36log45用a,b表示为5、若偶函数xfRx满足xfxf2且1,0x时,,xxf则方程xxf3log的根的个数是()。A.2个；B.4个；C.3个；D.多于4个6、若点(,)Axy在第一象限且在236xy上移动，则yx2323loglog（）A．最大值为1；B．最小值为1；C．最大值为2；D．没有最大、小值7、给出四个函数图象分别满足：①()()();fxyfxfy②()()()gxygxgy③()()()uxyuxuy④()()().vxyvxvy与下列函数图象对应的是（）abcdA．①a②d③c④bB.①b②c③a④dC.①c②a③b④dD.①d②a③b④c8、函数22log1log1xfxx，若1221fxfx（其中1x、2x均大于２），则12fxx的最小值为（）。A．35；B．23；C．45；D．5549、已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff为（）。A．2B．1C．1D．210、设323log,log3,log2abc，则（）。A.abcB.acbC.bacD.bca11.已知01,loglog0aaamn，则()10A.1nmB.1mnC.1mnD.1nm12．若)3log4log4log3log()3log4(log3loglog433424349x，则x（）A．4B．16C．256D．8113.设函数f（x）=loga|x|在（－∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是()A.f（a+1）=f（2）B.f（a+1）＞f（2）C.f（a+1）＜f（2D.不能确定14.设1643tzyx，则11zx与12y的大小关系为（）A．1112zxyB．1112zxyC．1112zxyD．11zx与12y的大小关系不确定【探索题】在函数)1,1(logxaxya的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m、2m、4m，若△ABC的面积为S，求函数)(mfS的值域.11幂函数一、知识要点：1．幂的有关概念(1)正整数指数幂)(Nnaaaaann个(2)零指数幂)0(10aa(3)负整数指数幂10,nnaanNa(4)正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；(5)负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa(6)0的正分数指数幂等于0,0的负