2007级数学分析第2学期期终考试试卷解答2008-6-27

解答，总6页第1页2007级第二学期《数学分析》期终试题2008-6-27——参考答案与评分标准一、单项选择题（每小题3分，共12分）1．设函数(,)||fxyxy，则(,)fxy在(0,0)点……【A】(A)连续，且可偏导.(B)沿任何方向的方向导数都存在.(C)可微，且(0,0)d0.f(D)(,)xfxy和(,)yfxy在(0,0)点连续.2．通过曲面e3xyzxyz上点)1,0,1(M的切平面……【B】(A)通过y轴.(B)平行于y轴.(C)垂直于y轴.(D)以上结论都不正确.3．设连续函数()fu满足(0)0f，'(0)1f，记222{(,)}tDxyxyt，则极限22301lim()ddttDfxyxyt的值……【C】(A)等于0.(B)等于1.(C)等于2π3.(D)无法确定.4．设曲线积分22ddCxxyyIxy，其中C是平面上任意一条不经过原点(0,0)O的简单可求长闭曲线，则……【A】(A)0I.(B)2πI.(C)若C环绕原点，则2πI，若C没有环绕原点，则0I.(D)以上结论均不正确.B卷：【C】【C】【A】【B】二、填空题（每小题4分，共16分）5．设函数2(,)(1)e(1)1xxyfxyxyxyy，则)1,3(xf6.6．设函数()fu在R上具有连续导数，又220()()d()yFyfxyxyR，则)(yF220(0)2'()dyfyfxyx.7．设函数(,)fxy连续，交换二次积分次序：244024d(,)dd(,)dyyyyyfxyxyfxyx22242d(,)dxxxfxyy.8．设曲线C为椭圆周22123xy，其周长记为a，则22(32)dCxyxys6a.解答，总6页第2页三、（第9小题8分，第10小题10分,共18分）9．设函数zyxu22，其中(,)zzxy是由方程33330xyzz所确定并满足(1,1)0z的隐函数，求(1,1)ux.解2uzxxx，……3分221zxxz，……6分(1,1)1ux.……8分10．求函数(,,)fxyzz在条件22220xyz和35xyz下的极值.解作Lagrange函数222(2)(35)Lzxyzxyz.……3分令20201340xyzLxLyLzxy.……6分代入约束条件得驻点(1,1,1)和(5,5,5).……8分由于(,,)fxyzz在闭集2222035xyzxyz上连续，因此必有最大、最小值.又因为(1,1,1)1f，(5,5,5)5f所以(1,1,1)1f为极小值，也是最小值，(5,5,5)5f为极大值，也是最大值.……10分四、计算下列积分（第11、12每小题9分,第13小题10分，共28分）11．计算2sin2d2(1)dCIxxxyy，其中C为sinyx上从点(0,0)O到点(π,0)A的一段.解一π20sin22(1)sincosdIxxxxx……4分2π20πsin2d2xxx.……9分解二添加:0,:π0AOyx，记其与曲线C所围成的区域为D.……3分2sin2d2(1)d4ddDCAOxxxyyxyxyπsinπ20004dd2sindxxxyyxxx2π2.……7分解答，总6页第3页故22πsin2d2(1)d2OAIxxxyy22π0ππsin2d22xx.……9分12．计算eddyxyxDxy，其中D为直线1xy，0x和0y所围成的有界闭区域.解作变换uyxvyx,则……2分(,)*(,)01,uvDuvuuvu,(,)1(,)2xyuv.……6分故*1eddedd2yxvyxuDDxyuv1101eeded24vuuuuv.……9分13．计算2222dd()ddSaxyzazxyxyz（0a），其中S为下半球面222zaxy，方向取上侧.解22222dd()dd1dd()ddSSaxyzazxyaxyzazxyaxyz.……2分补充2220:0()Szxya,取下侧.记S与0S所围成的区域为.则……4分02dd()dd(32)dSSaxyzazxyazV2222042π2dddaxyazazzxy0422432π2π()dπ2aazazza.……8分于是02423dd()ddπ()dd2SSaxyzazxyaazxy4423ππdd22Daaaxy故23222dd()ddπ2Saxyzazxyaxyz.……10分解答，总6页第4页五、（每小题9分,共18分）14．设0sin2()edxxIxx，证明()(0,)IC.解令e(,)sin2xfxxx.任取[,](0,)ab,及0A有20sin2dsin1AxxA,故0sin2dAxx一致有界.……3分其次,对[,]ab,函数exx关于x单调减少且有e1xxx,故当x时,exx关于[,]ab一致趋于0.据Dirichlet判别法知()I关于[,]ab一致收敛.……7分最后,由于(,)[0,)[,]fxCab,故()[,]ICab,从而()(0,)IC.……9分15．设0,0ab，又已知2arctanarctand1()babxaxyxxy.验证条件并计算积分0arctanarctandbxaxxx.解不妨设ab.令21(,)1()fxyxy,则[0,)[,]fCab.……2分对任意的[,]yab有2221101()1xyax,且2200darctanπ12xaxaxaa,由M-判别法知20d1()xxy关于[,]yab一致收敛,从而……5分200arctanarctanddd1()babxaxyxxxxy……7分20dd1()baxyxyπdπln22baybya.……9分解答，总6页第5页六、证明题（本题共8分）16．已知二元函数的Lagrange中值定理是：设函数yxf,在000,yxP的邻域0PU有一阶连续偏导函数yxfx,和yxfy,，则对任意0,PUyxP，存在0,UP，使得0000,,,,yyfxxfyxfyxfyx.现在设R是给定的正常数，平面区域222,|DxyxyR上的函数yxf,具有一阶连续偏导函数，且yxf,在D的边界222,|DxyxyR上取值为零.(1)证明：对任意的,PxyD，存在,D，使得22(,),ffxyxyRl,其中OPl=,而O为坐标原点.(2)证明:322,π,ddmax3xyxyDDRfxyxyff.证(1)记射线OP与D的交点为00(,)xy,则存在,D使得0000,,,,xyfxyfxyfxxfyy00,,,,xyffxxyy……2分由于yyxx00,与l同向，且模长为22yxR,因此得到220(,)(,)gradfxyxyRfl22(,)fxyRl.……4分(2)由(1)有22,,,ddmaxddDDDffxyxyRxyxyl……6分2π2200,maxd()dRxyxyDffRrrr322,πmax3xyxyDRff.……8分解答，总6页第6页管理学院二、填空题8.设常数0a，22(,)2Dxyxyax，则22()ddDxyyxyxy=0.四、11.求微分方程2d6dyyxyxx的通解.解令1zy，则原方程化为……2分d6dzzxxx.……4分666dd16eed6xxxxxCzxxCx.……7分故666xyxC.……9分五、13.计算2222221dddxyzxyzxyz，其中是由曲面222zxy和1z所围成的有界闭区域.解一2222221dddxyzxyzxyz222122222201dddxyzzxyzxyxyz12π22220001dddzzrzrrrz……4分122220012πddzzrzrrrz……6分1302221πln2d3zz221ln2π6.……10分解二2222221dddxyzxyzxyzπ12π24cos20001ddsind……4分π134cos002πsind1d……6分π440sinsin2πd4coscos221ln2π6.……10分